Centrální limitní věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Centrální limitní věta v teorii pravděpodobnosti označuje tvrzení, podle něhož se (za určitých podmínek diskutovaných níže) rozdělení výběrového průměru po vhodné normalizaci blíží k normálnímu rozdělení. O náhodné veličině s uvedeným chováním říkáme, že má asymptoticky normální rozdělení.

Centrální limitní větu lze vyjádřit různými způsoby.

K důkazu se dnes nejčastěji používají charakteristické funkce. Věta však není platná například pro Cauchyho rozdělení. Zobecněně je limitním stabilní rozdělení.

Moivreova-Laplaceova věta

Nejjednodušším vyjádřením centrální limitní věty je Moivreova-Laplaceova věta. Podle této věty platí, že pokud součtem nezávislých náhodných veličin s alternativním rozdělením (s parametrem ) vytvoříme veličinu , která má binomické rozdělení s parametry a , pak pro normovanou náhodnou veličinu

platí vztah

pro , kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení .

Podle Moivreovy-Laplaceovy věty tedy při velkém počtu nezávislých pokusů konverguje binomické rozdělení k rozdělení normálnímu.

Lévyho-Lindebergova věta

Moivreovu-Laplaceovu větu lze zobecnit na větu Lévyho-Lindebergovu. Pokud je podle této věty náhodná veličina součtem vzájemně nezávislých náhodných veličin se shodným rozdělením libovolného typu, s konečnou střední hodnotou a konečným rozptylem , pak pro normovanou náhodnou veličinu

platí opět vztah

pro , kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení . Veličina má tedy asymptoticky normální rozdělení.

Porovnejte toto chování se zákonem velkých čísel, který pro tento případ dává

skoro jistě.

Ljapunovova věta

Nejobecnějším vyjádřením centrální limitní věty pro součet nezávislých náhodných veličin je věta Ljapunovova. Ta říká, že rozdělení součtu vzájemně nezávislých veličin konverguje k normálnímu rozdělení i v případě, že veličiny nemají stejné rozdělení pravděpodobnosti.

Nechť náhodná veličina je součtem vzájemně nezávislých veličin , které mají konečné střední hodnoty a konečné třetí centrální momenty . Nechť dále platí Ljapunovova podmínka

.
Pak pro normovanou náhodnou veličinu

platí vztah

pro , kde je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení .

Odkazy

Související články