Cauchyho–Schwarzova nerovnost

V matematice je Cauchyho–Schwarzova nerovnost (též známá jako: Schwarzova, Bunjakovského, Cauchyho–Bunjakovského nebo Cauchyho–Bunjakovského–Schwarzova nerovnost) užitečná nerovnost často používaná v různých odvětvích matematiky, jako je lineární algebra, analýza nebo teorie pravděpodobnosti. Bývá považována za jednu z nejdůležitějších nerovností v matematice. Má různá zobecnění, mezi nejdůležitější patří Hölderova nerovnost.

Znění

Na unitárním prostoru ${\mathcal {V}}$ se skalárním součinem $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ platí:

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle \ \forall x,y\in {\mathcal {V}}$.

Můžeme obě strany nerovnosti odmocnit a dostaneme ekvivalentní tvrzení:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|\ \forall x,y\in {\mathcal {V}}$.

Navíc, rovnost nastává právě tehdy, když jsou $x$ a $y$ lineárně závislé.

Důkaz

Pro každé $x,y\neq 0$ existuje $z$ takové, že:

$x=\lambda y+z$, kde $\lambda ={\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }},\ z\bot y$.

Za použití Pythagorovy věty dostaneme:

$\|x\|^{2}=|\lambda |^{2}\|y\|^{2}+\|z\|^{2}\geq |\lambda |^{2}\|y\|^{2}={\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{4}}}\|y\|^{2}={\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}}$

Z čehož plyne:

$\|x\|^{2}\|y\|^{2}\geq |\langle x,y\rangle |^{2}$.

Což je po úpravě požadovaná nerovnost.

Pokud máme rovnost, tak nutně $\|z\|=0\Rightarrow z=0$ a tudíž: $x=\lambda y$ jsou $x,y$ lineárně závislé.

Portály: Matematika