Carnotův cyklus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Carnotův cyklus na diagramu teplotaentropie

Carnotův cyklus označuje vratný kruhový děj ideálního tepelného stroje, který se skládá ze dvou izotermických a dvou adiabatických dějů.

Teoreticky jej poprvé popsal Nicolas Léonard Sadi Carnot, po němž je pojmenován.

Fáze[editovat | editovat zdroj]

Carnotovův cyklus se skládá ze čtyř fází.

1. Izotermická expanze

Z počátečního stavu plynu, který je dán tlakem p_1, objemem V_1 a teplotou T_1 se plyn izotermicky rozpíná. Při tomto rozpínání plyn vykoná na úkor dodaného tepla Q_1 práci W_{12}. Teplo Q_1 je dodáno z okolí (tzv. ohřívač). Vztah mezi prací a teplem lze zapsat ve tvaru -W_{12}=Q_1.
Na konci této fáze cyklu je stav plynu popsán stavovými veličinami p_2, V_2 a T_1, pro něž platí, že p_2<p_1 a V_2>V_1.

2. Adiabatická expanze

Adiabatická expanze navazuje na izotermickou expanzi. Počáteční stav adiabatické expanze je dán stavovými veličinami p_2, V_2 a T_1, které jsou konečným stavem izotermické expanze. Při adiabatickém rozpínání nedochází k výměně tepla s okolím. Práce W_{23}, kterou plyn vykoná v této fázi cyklu jde na úkor vnitřní energie, tzn. W_{23}=U_2-U_3. Snížením vnitřní energie dojde také k poklesu teploty plynu.
Na konci této fáze cyklu je stav plynu popsán stavovými veličinami p_3, V_3 a T_3, pro něž platí, že p_3<p_2, V_3>V_2 a T_3<T_1.

3. Izotermická komprese

Izotermická komprese navazuje na adiabatickou expanzi. Počáteční stav izotermické komprese je dán stavovými veličinami p_3, V_3 a T_3, které jsou konečným stavem adiabatické expanze. Při izotermickém stlačování vykonáváme na plynu práci, která se odevzdává okolí ve formě tepla. Dodaná práce W_{34} je rovna uvolněnému teplu, tzn. W_{34}=-Q_3.
Na konci této fáze cyklu je stav plynu popsán stavovými veličinami p_4, V_4 a T_3, pro něž platí, že p_4>p_3 a V_4<V_3.

4. Adiabatická komprese

Adiabatická komprese navazuje na izotermickou kompresi. Počáteční stav adiabatické komprese je dán stavovými veličinami p_4, V_4 a T_3, které jsou konečným stavem izotermické komprese. Při adiabatické kompresi stlačujeme plyn, který je dokonale tepelně izolován. Nedochází tedy k výměně tepla s okolím. Práce W_{41}, kterou dodáme plynu, je spotřebována na zvýšení vnitřní energie plynu, tzn. W_{41}=U_4-U_1.
Protože se jedná o uzavřený cyklus, je na konci této fáze cyklu stav plynu určen stavovými veličinami p_1, V_1 a T_1.

Práce[editovat | editovat zdroj]

Celková práce W, kterou soustava během cyklu vykonala, je W=W_{12}+W_{23}+W_{34}+W_{41}. Poněvadž však pro je U_1=U_2 (vnitřní energie na počátku adiabatické expanze je stejná jako na konci adiabatické komprese, neboť se při izotermické expanzi nezměnila) a U_3=U_4 (vnitřní energie je stejná na konci adiabatické expanze jako na počátku adiabatické komprese, neboť se při izotermické kompresi nezměnila), platí W_{23}+W_{41}=0 neboli W=W_{12}+W_{34}, což lze zapsat ve tvaru

W=Q_1-Q_3

Práce vykonaná soustavou při Carnotově cyklu je rovna rozdílu tepla přijatého a tepla odevzdaného.

Pokud cyklus probíhá v popsaném pořadí, pak koná soustava práci a představuje ideální tepelný stroj, v němž je část tepla dodaného ohřívačem přeměněna na mechanickou práci a část se vždy odevzdá chladiči. Při opačném chodu Carnotova cyklu dostaneme ideální chladicí stroj, který teplo odnímá chladnější lázni a přenáší jej na teplejší lázeň, k čemuž je nutné dodat soustavě zvenčí práci.

Účinnost Carnotova cyklu[editovat | editovat zdroj]

Účinnost stroje je poměr vykonané práce k dodané energii. V případě Carnotova cyklu to znamená

\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1-Q_3}{Q_1},

kde W je celková práce, kterou soustava během cyklu vykoná, Q_1 je teplo dodané soustavě ve fázi izotermické expanze a Q_3 je teplo uvolněné soustavou při izotermické kompresi.


Podrobnějším výpočtem lze získat vztah

\eta={T_1-T_2 \over T_1}=1-\frac{T_2}{T_1},

kde T1 je teplota ohřívače a T2 teplota chladiče.


Účinnost Carnotova cyklu tak závisí pouze na poměru termodynamických teplot, mezi nimiž tepelný stroj pracuje. Účinnost není závislá na druhu použitého plynu.

Carnotova věta[editovat | editovat zdroj]

Lze dokázat, že účinnost libovolného nevratného cyklu je vždy menší než účinnost vratného cyklu. To je možné provést pomocí systému dvou tepelných strojů, vratného a nevratného. Kdyby totiž účinnost nevratného tepelného stroje byla větší než účinnost vratného tepelného stroje, bylo by možné sestrojit perpetuum mobile druhého druhu, což není možné. Pokud by byla účinnost obou strojů (vratného a nevratného) stejná, byl by celý výsledný cyklus vratný, což je v rozporu s předpokladem nevratnosti jednoho ze strojů. Jedinou možností tedy je, že účinnost nevratného tepelného stroje je nižší než účinnost vratného tepelného stroje, tzn.

\eta_{nevrat}<\eta_{vrat}

Podle předchozích vztahů tedy platí

\eta_{nevrat} = \frac{W_{nevrat}}{Q_{nevrat}} < \frac{T-T_0}{T},

který říká, že práce, kterou vykoná nevratný stroj při přechodu tepla z teplejšího tělesa na těleso chladnější, nepostačuje k převedení tepla v opačném směru.


Důsledkem druhé hlavní věty termodynamiky je tzv. Carnotova věta.

Účinnost všech vratných cyklů, které pracují mezi stejnými teplotami, je stejná a závisí pouze na teplotách obou zásobníků tepla; účinnost libovolného nevratného cyklu nemůže být větší než účinnost vratného Carnotova cyklu pracujícího mezi týmiž maximálními teplotami jako nevratný cyklus.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu