Boltzmannova rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Boltzmannova rovnice, známá také jako Boltzmannova transportní rovnice, zavedená Ludwigem Boltzmannem, popisuje statistické rozdělení jedné částice v tekutině. Je to důležitá rovnice nerovnovážné statistické mechaniky, oblasti statistické mechaniky, která se zabývá systémy, které jsou daleko od termodynamické rovnováhy; např. v přítomnosti teplotního gradientu nebo elektrického pole. Boltzmannova rovnice se používá ke studiu schopnosti tekutiny transportovat fyzikální veličiny jako teplo a náboj, a tedy k odvození transportních vlastností, např. elektrické vodivosti, Hallovy vodivosti, viskozity a tepelné vodovosti.

Přehled[editovat | editovat zdroj]

Boltzmannova rovnice je rovnice pro časový (t) vývoj rozdělovací funkce f(x, p, t) v jednočásticovém fázovém prostoru, kde x je poloha a p je hybnost. Rozdělení je definováno tak, že

je počet částic, které se v čase t nacházejí v prostorovém elementu v okolí x a jejich hybnost je v intervalu v okolí p.[1]

Působí-li na částice popsané f vnější síla F, musí f, za předpokladu neexistence srážek, splňovat

což znamená, že mají-li nějaké částice v čase t souřadnici x a hybnost p, v čase budou (všechny) v , s hybností .

Avšak, protože ke srážkám dochází, hustota částic v elementu fázového prostoru dx dp se mění.

Vydělením rovnice dx dp dt dostaneme v limitě Boltzmannovu rovnici

F(x, t) je síla působící mezi částicemi v tekutině a m je hmotnost částic. Člen na pravé straně rovnice popisuje efekt srážek mezi částicemi; je-li roven nule, částice se nesrážejí. Bezsrážková Boltzmannova rovnice je často chybně nazývána Liouvillova rovnice (Liouvillova rovnice je N-částicová rovnice).


Molekulární chaos a srážkový člen (Stosszahl Ansatz)[editovat | editovat zdroj]

Výše uvedená Boltzmannova rovnice nemá velký praktický význam, neboť nechává srážkový člen nespecifikovaný. Klíčová myšlenka použitá Boltzmannem byla určit srážkový člen výhradně ze srážek dvou částic, o kterých se předpokládá, že před srážkou jsou nekorelované. Tento předpoklad byl Boltzmannem nazýván 'Stosszahl Ansatz', a je také znám jako předpoklad molekulárního chaosu. Za tohoto předpokladu lze srážkový člen psát jako integrál v hybnostním prostoru přes součin jednočásticových rozdělovacích funkcí:


V tomto článku byl použit překlad textu z článku Boltzmann equation na anglické Wikipedii.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. HUANG, Kerson. Statistical Mechanics. Second. vyd. New York : Wiley, 1987. ISBN 0471815187. S. 53.