Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Binetův vzorec je lineární diferenciální rovnice druhého řádu, vyjadřující pohyb tělesa v centrálním poli. Mějmě těleso hmotnosti
m
{\displaystyle m}
polární souřadnice jsou
r
{\displaystyle r}
φ
{\displaystyle \varphi }
u
=
1
r
{\displaystyle u={1 \over r}}
d
2
u
d
φ
2
+
u
=
−
m
L
2
d
V
d
u
{\displaystyle {{{\mbox{d}}^{2}u \over {\mbox{d}}\varphi ^{2}}+u=-{m \over L^{2}}{{\mbox{d}}V \over {\mbox{d}}u}}}
kde
V
{\displaystyle V}
potenciál tělesa v centrálním poli,
L
{\displaystyle L}
moment hybnosti .
Nalezneme-li funkci
u
(
φ
)
{\displaystyle u(\varphi )}
V
{\displaystyle V}
trajektorii tělesa dostaneme opět inverzí, tedy
r
(
φ
)
=
1
u
(
φ
)
{\displaystyle r(\varphi )={1 \over u(\varphi )}}
Důležitým případem je pohyb tělesa v gravitačním poli, tedy v potenciálu
V
(
r
)
=
−
α
r
{\displaystyle V(r)=-{\alpha \over r}}
kde
α
=
G
M
m
{\displaystyle \alpha ={GMm}}
d
2
u
d
φ
2
+
u
=
α
m
L
2
{\displaystyle {{\mbox{d}}^{2}u \over {\mbox{d}}\varphi ^{2}}+u={\alpha m \over L^{2}}}
To je nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty , jehož obecným řešením
u
(
φ
)
=
α
m
L
2
(
1
+
ε
cos
(
φ
+
φ
0
)
)
{\displaystyle u(\varphi )={\alpha m \over L^{2}}(1+\varepsilon \cos(\varphi +\varphi _{0}))}
kde
ε
,
φ
0
{\displaystyle \varepsilon ,\varphi _{0}}
integrační konstanty . Konstanta
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
bez újmy na obecnosti položit rovnou nule.
Inverzí vztahu dostaneme tvar trajektorie
r
(
φ
)
=
p
1
+
ε
cos
φ
{\displaystyle r(\varphi )={p \over 1+\varepsilon \cos \varphi }}
kde
p
=
L
2
α
m
{\displaystyle p={L^{2} \over \alpha m}}
kuželosečky v polárních souřadnicích . Konstanta
ε
{\displaystyle \varepsilon }
numerická excentricita a souvisí s celkovou energií tělesa v centrálním poli vztahem
ε
2
−
1
=
2
L
2
E
α
2
m
{\displaystyle \varepsilon ^{2}-1={2L^{2}E \over \alpha ^{2}m}}
Těleso (např. planeta nebo kometa) se tedy v centrálním gravitačním poli pohybuje po
elipse , je-li
ε
<
1
{\displaystyle \varepsilon <1}
hyperbole , je-li
ε
>
1
{\displaystyle \varepsilon >1}
parabole , je-li
ε
=
1
{\displaystyle \varepsilon =1}
První případ platí pro pohyb planet a vyjadřuje tak první Keplerův zákon .
