Binetův vzorec (mechanika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Binetův vzorec je lineární diferenciální rovnice druhého řádu, vyjadřující pohyb tělesa v centrálním poli. Mějmě těleso hmotnosti , jehož polární souřadnice jsou a . Binetův vzorec je rovnice pro inverzní vzdálenost , a má tvar

kde je potenciál tělesa v centrálním poli, je jeho moment hybnosti.

Nalezneme-li funkci řešící Binetův vzorec pro daný potenciál , trajektorii tělesa dostaneme opět inverzí, tedy

Gravitační pole[editovat | editovat zdroj]

Důležitým případem je pohyb tělesa v gravitačním poli, tedy v potenciálu

kde je konstanta. Binetův vzorec má zde tedy tvar

To je nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, jehož obecným řešením

kde jsou integrační konstanty. Konstanta má význam počáteční fáze, můžeme ji tedy bez újmy na obecnosti položit rovnou nule.

Inverzí vztahu dostaneme tvar trajektorie

kde . To je rovnice kuželosečky v polárních souřadnicích. Konstanta je numerická excentricita a souvisí s celkovou energií tělesa v centrálním poli vztahem

Těleso (např. planeta nebo kometa) se tedy v centrálním gravitačním poli pohybuje po

  • elipse, je-li
  • hyperbole, je-li
  • parabole, je-li

První případ platí pro pohyb planet a vyjadřuje tak první Keplerův zákon.