Bernsteinův polynom

V teorii numerické matematiky je Bernsteinův polynom, nebo také polynom v Bernsteinově tvaru, polynomem, který je lineární kombinací Bernsteinových bázových polynomů.

Numericky stabilní cestou k výpočtu Bernsteinových polynomů je tzv. Algoritmus de Casteljau.

Polynomy v Bernsteinově tvaru byly poprvé použity v konstrukčním důkaze Stone-Weierstrassovy aproximační věty. S rozvojem počítačové grafiky se Bernsteinovy polynomy omezené na intervalu $[0,1]$ staly důležitými ve formě Beziérových křivek.

Definice

n+1 Bernsteinových bázových polynomů stupně $n$ je definováno vztahem

    $b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu },\qquad \nu =0,\ldots ,n.$

kde ${n \choose \nu }$ je binomický koeficient.
Bernsteinovy bázové polynomy stupně $n$ tvoří bázi vektorového prostoru polynomů stupně $n$ .
Lineární kombinace Bernsteinových bázových polynomů

    $B(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)$

se nazývá Bernsteinův polynom, neboli polynom v Bernsteinově tvaru stupně $n$ . Koeficienty $\beta _{\nu }$ jsou nazývány Bernsteinovy koeficienty, nebo také Beziérovy koeficienty.

Příklad

Prvních několik Bernsteinových bázových polynomů vypadá takto:

    $b_{0,0}(x)=1\,$  

    $b_{0,1}(x)=1-x\,$  

    $b_{1,1}(x)=x\,$  

    $b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}\,$  

    $b_{1,2}(x)=2x(1-x)\,$  

    $b_{2,2}(x)=x^{2}\ .$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernstein_polynomial na anglické Wikipedii.