Bernoulliho lemniskáta

Bernoulliho lemniskáta je rovinná křivka definovaná dvěma ohnisky $F_{1}$ a $F_{2}$ vzdálenými od sebe $2e$ a je tvořená množinou bodů $P$ , pro které platí $|PF_{1}|\cdot |PF_{2}|=e^{2}$ . Tvarem připomíná ležatou osmičku nebo symbol pro nekonečno.

Pojmenována je po Jacobu Bernoullim (Bernoulliho diferenciální rovnice, Bernoulliho čísla), strýci Daniela Bernoulliho (Bernoulliho rovnice tekutin).

Jedná se o speciální případ Cassiniho oválu.

Používá se při regulaci vodních toků pro přechod z rovnoměrného přímočarého pohybu na rovnoměrný kruhový.

V kartézských souřadnicích je popsána rovnicí

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2e^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)

Místo $2e^{2}$ lze zavést $a^{2}$ (tedy $a={\sqrt {2}}e$ ) a pak $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$

V polárních souřadnicích

r^{2}=2e^{2}\cos {2\phi }=a^{2}\cos {2\phi }

Délka křivky

$L=4a\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2\varpi a\approx 7{,}416\cdot e$ ,

přičemž $\varpi =2\operatorname {arcsl} {1}\approx 2{,}622$ je tzv. konstanta lemniskáty.

Další vlastnosti

V místě křížení je pravý úhel.
Obsah lemniskáty je $S=a^{2}=2e^{2}$ .
„Šířka“ lemniskáty je $2a$ .
„Výška“ lemniskáty je $e$ .
Kruhovou inverzí lemniskáty je hyperbola.

Galerie

$Konstrukce lemniskáty. | A C | = | B D | = 2 e = a {\displaystyle |AC|=|BD|={\sqrt {2}}e=a} , | A B | = | C D | = 2 e {\displaystyle |AB|=|CD|=2e} , | C E | = | E D | = e {\displaystyle |CE|=|ED|=e}$
Konstrukce lemniskáty. $|AC|=|BD|={\sqrt {2}}e=a$ , $|AB|=|CD|=2e$ , $|CE|=|ED|=e$
$Další konstrukce. | B C | = | C D | = | O C | = a / 2 = e / 2 {\displaystyle |BC|=|CD|=|OC|=a/2=e/{\sqrt {2}}} , | A B | = | A O | = e {\displaystyle |AB|=|AO|=e}$
Další konstrukce. $|BC|=|CD|=|OC|=a/2=e/{\sqrt {2}}$ , $|AB|=|AO|=e$
$Obecná Cassiniova křivka, | P P 1 | ⋅ | P P 2 | = b 2 {\displaystyle |PP_{1}|\cdot |PP_{2}|=b^{2}} .$
Obecná Cassiniova křivka, $|PP_{1}|\cdot |PP_{2}|=b^{2}$ .

Lemniskáta jako křivka NURBS

Lemniskátu je možné zkonstruovat i jako NURBS křivku stupně 4 pomocí jedenácti řídicích bodů uvedených v následující tabulce a s uzlovým vektorem [0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4].

č.	${\frac {x}{c}}{\sqrt {2}}$	${\frac {y}{c}}{\sqrt {2}}$	váha
1	2	0	2
2	2	1	1
3	0	1	1
4	0	−1	1
5	−2	−1	1
6	−2	0	2
7	−2	1	1
8	0	1	1
9	0	−1	1
10	2	−1	1
11	2	0	2

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Bernoulliova lemniskáta na Wikimedia Commons