Bernoulliho diferenciální rovnice

Bernoulliho diferenciální rovnice je v matematice obyčejná diferenciální rovnice tvaru:

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

kde $n$ je reálná konstanta. Pro $n=0$ přejde Bernoulliho rovnice na nehomogenní lineární rovnici, pro $n=1$ na homogenní lineární rovnici. Rovnice je pojmenována po Jacobu Bernoullim, který ji popsal v roce 1695. Význam Bernoulliho diferenciální rovnice tkví v tom, že se jedná o nelineární diferenciální rovnice, u kterých je známo přesné řešení. Speciálním případem Bernoulliho rovnic je logistická diferenciální rovnice.

Transformace na lineární diferenciální rovnici

Pro $n=0$ a $n=1$ je Bernoulliho rovnice lineární. Pro $n\neq 0$ a $n\neq 1$ převádí substituce $u=y^{1-n}$ libovolnou Bernoulliho rovnici na lineární diferenciální rovnici.

Například:

Uvažujme následující diferenciální rovnici: $x{\frac {dy}{dx}}+y=x^{2}y^{2}$

Přepíšeme ji do Bernoulliho tvaru (pro $n=2$): ${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}$

Odtud substitucí $u=y^{-1}$ dostaneme ${\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x$, což je lineární diferenciální rovnice.

Řešení

Nechť $x_{0}\in (a,b)$ a

$\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {pro}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {pro}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.$

je řešením lineární diferenciální rovnice

$z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).$

Odtud plyne, že $y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$ je řešením rovnice

$y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.$

a pro každou takovou diferenciální rovnici a pro všechna $\alpha >0$ je $y\equiv 0$ řešením pro $y_{0}=0$.

Příklad

Uvažujme Bernoulliho rovnici (v tomto případě Riccatiho rovnici).

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

Nejprve si všimněme, že jedním řešením je $y=0$. Vydělením $y^{2}$ dostáváme

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

Substitucí proměnných

$w={\frac {1}{y}}$

$w'={\frac {-y'}{y^{2}}}$

dostáváme rovnici

$-w'-{\frac {2}{x}}w=-x^{2}$

$w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}$

kterou lze řešit metodou integračního faktoru

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.$

vynásobením $M(x)$ dostaneme

$w'x^{2}+2xw=x^{4},\,$

všimněme si, že levá strana je derivací výrazu $wx^{2}$. Integrováním obou stran podle $x$ dostáváme rovnici

$\int w'x^{2}+2xw\,dx=\int x^{4}\,dx$

$wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

${\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

Tedy řešení pro $y$ je

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}$.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernoulli differential equation na anglické Wikipedii.

• BERNOULLI, Jacob. Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis. [s.l.]: [s.n.], 1695. .
• HAIRER, Ernst; NØRSETT, Syvert Paul; WANNER, Gerhard. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, Nový York: Springer-Verlag, 1993. ISBN 978-3-540-56670-0. .

Související články

• Obyčejné diferenciální rovnice

Externí odkazy

• Bernoulli equation na planetmath.org
• Differential equation na planetmath.org
• Index of differential equations na planetmath.org