Bernoulliho diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tento článek je o diferenciální rovnici. O mechanice tekutin pojednává článek Bernoulliho rovnice.

Bernoulliho diferenciální rovnice je v matematice obyčejná diferenciální rovnice tvaru:

kde je reálná konstanta. Pro přejde Bernoulliho rovnice na nehomogenní lineární rovnici, pro na homogenní lineární rovnici.[1] Rovnice je pojmenována po Jacobu Bernoullim, který ji popsal v roce 1695. Význam Bernoulliho diferenciální rovnice tkví v tom, že se jedná o nelineární diferenciální rovnice, u kterých je známo přesné řešení. Speciálním případem Bernoulliho rovnic je logistická diferenciální rovnice.

Transformace na lineární diferenciální rovnici[editovat | editovat zdroj]

Pro a je Bernoulliho rovnice lineární. Pro a převádí substituce libovolnou Bernoulliho rovnici na lineární diferenciální rovnici.

Například:

Uvažujme následující diferenciální rovnici:

Přepíšeme ji do Bernoulliho tvaru (pro ):

Odtud substitucí dostaneme , což je lineární diferenciální rovnice.

Řešení[editovat | editovat zdroj]

Nechť a

je řešením lineární diferenciální rovnice

Odtud plyne, že je řešením rovnice

a pro každou takovou diferenciální rovnici a pro všechna je řešením pro .

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme Bernoulliho rovnici (v tomto případě Riccatiho rovnici).[2]

Nejprve si všimněme, že jedním řešením je . Vydělením dostáváme

Substitucí proměnných

dostáváme rovnici

kterou lze řešit metodou integračního faktoru

vynásobením dostaneme

všimněme si, že levá strana je derivací výrazu . Integrováním obou stran podle dostáváme rovnici

Tedy řešení pro je

.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernoulli differential equation na anglické Wikipedii.

  • BERNOULLI, Jacob. Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis. [s.l.]: [s.n.], 1695. .
  • HAIRER, Ernst; NØRSETT, Syvert Paul; WANNER, Gerhard. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, Nový York: Springer-Verlag, 1993. ISBN 978-3-540-56670-0. .
  1. Weisstein, Eric W. "Bernoulli Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BernoulliDifferentialEquation.html
  2. y'-2*y/x=-x^2*y^2, Wolfram Alpha, 01-06-2013

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]