Barycentrické souřadnice

Barycentrické souřadnice v trojúhelníku.

Barycentrické souřadnice jsou v geometrii souřadnicový systém, ve kterém je poloha bodu určena vzhledem k vrcholům daného simplexu (např. trojúhelníku v rovině nebo čtyřstěnu v prostoru). Představují jeden ze základních nástrojů afinní geometrie a mají široké využití v počítačové grafice a inženýrství.

Koncept poprvé představil německý matematik August Ferdinand Möbius ve svém díle Der barycentrische Calcul v roce 1827.

Definice

Mějme $n$ vrcholů $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ simplexu v eukleidovském prostoru $E^{n}$. Libovolný bod $P$ lze vyjádřit jako lineární kombinaci těchto vrcholů:

$P=\lambda _{1}A_{1}+\lambda _{2}A_{2}+\dots +\lambda _{n}A_{n}$

kde reálná čísla $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ nazýváme barycentrické souřadnice bodu $P$, pokud je splněna podmínka:

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1$

Pokud jsou všechny souřadnice $\lambda _{i}\geq 0$, bod $P$ leží v konvexním obalu vrcholů (např. uvnitř trojúhelníku). Pokud je alespoň jedna souřadnice záporná, bod leží vně.

Geometrická interpretace v rovině

Pro trojúhelník s vrcholy $A,B,C$ a bod $P$ odpovídají souřadnice $(\lambda _{A},\lambda _{B},\lambda _{C})$ poměru ploch dílčích trojúhelníků:

$\lambda _{A}={\text{obsah}}(PBC)/{\text{obsah}}(ABC)$

$\lambda _{B}={\text{obsah}}(APC)/{\text{obsah}}(ABC)$

$\lambda _{C}={\text{obsah}}(ABP)/{\text{obsah}}(ABC)$

Z fyzikálního hlediska lze tyto souřadnice chápat jako hmotnosti, které bychom museli umístit do vrcholů, aby se bod $P$ stal jejich těžištěm (barycentrem).

Významné body v trojúhelníku

Pomocí barycentrických souřadnic lze elegantně zapsat některé významné body trojúhelníku:

Barycentrické souřadnice významných bodů trojúhelníku

Bod	Homogenní souřadnice $(\lambda _{A}:\lambda _{B}:\lambda _{C})$	Normované souřadnice $(\lambda _{A},\lambda _{B},\lambda _{C})$	Poznámka
Vrcholy	$A=(1:0:0)$ $B=(0:1:0)$ $C=(0:0:1)$	$(1,0,0)$ $(0,1,0)$ $(0,0,1)$	Základní simplex
Těžiště	$(1:1:1)$	$\left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)$	Aritmetický průměr vrcholů
Střed kružnice vepsané	$(a:b:c)$	$\left({\frac {a}{L}},{\frac {b}{L}},{\frac {c}{L}}\right)$	$L=a+b+c$ (obvod)
Střed kružnice opsané	$(\sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma )$	$\left({\frac {\sin 2\alpha }{S}},{\frac {\sin 2\beta }{S}},{\frac {\sin 2\gamma }{S}}\right)$	$S=\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma$
Ortocentrum	$(\tan \alpha :\tan \beta :\tan \gamma )$	$\left({\frac {\tan \alpha }{T}},{\frac {\tan \beta }{T}},{\frac {\tan \gamma }{T}}\right)$	$T=\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma$
Střed kružnice připsané	$(-a:b:c)$	$\left({\frac {-a}{b+c-a}},{\frac {b}{b+c-a}},{\frac {c}{b+c-a}}\right)$	Leží vně trojúhelníku

Vysvětlivky symbolů

$a,b,c$ jsou délky stran protilehlých vrcholům

$A,B,C$.$\alpha ,\beta ,\gamma$ jsou vnitřní úhly u vrcholů $A,B,C$.

Normované souřadnice získáme z homogenních vydělením jejich součtem (aby součet výsledných složek byl 1).

Využití

Počítačová grafika

V moderní počítačové grafice jsou barycentrické souřadnice naprosto klíčové.

Použití v interpolaci atributů. Při rasterizaci trojúhelníku na obrazovku se barycentrické souřadnice používají k lineárnímu přenosu dat z vrcholů na jednotlivé pixely. Takto se interpolují barvy (Gouraudovo stínování), normálové vektory (Phongovo stínování) nebo texturové souřadnice (UV mapování).

Použití v test náležení bodu (Point-in-triangle): Nejrychlejší metoda pro určení, zda pixel (nebo paprsek v sledování paprsku) zasáhl daný trojúhelník, spočívá ve výpočtu jeho barycentrických souřadnic. Pokud jsou všechny nezáporné, k zásahu došlo. V sledování paprsku se využívají k určení bodu nárazu paprsku do polygonové sítě.

Fyzika a inženýrství

Metoda konečných prvků (MKP). Při numerickém řešení diferenciálních rovnic (např. pevnostní analýzy) se používají k definici tvarových funkcí uvnitř elementů. Při numerickém řešení fyzikálních polí (např. mechanické napětí, proudění tepla) se prostor rozdělí na síť elementů (často čtyřstěny nebo trojúhelníky). Barycentrické souřadnice zde definují funkce, které popisují, jak se hodnota veličiny mění uvnitř elementu.

V ternárních diagramech, v chemii a metalurgii se používají k zobrazení složení směsí tří složek. Každý bod v rovnostranném trojúhelníku představuje určitý poměr látek, přičemž součet koncentrací je vždy 100 % resp. 1 (odpovídá barycentrické podmínce $\lambda =1$).

Vztah k jiným systémům

Barycentrické souřadnice jsou úzce spjaty s trilineárními souřadnicemi $(x:y:z)$, které udávají vzdálenost od stran.

Převodní vztah pro trojúhelník se stranami $a,b,c$ je:

$(\lambda _{A}:\lambda _{B}:\lambda _{C})=(ax:by:cz)$

Odkazy

Související články

• Těžiště
• Afinní prostor
• Simplex

Literatura

• MÖBIUS, August Ferdinand. Der barycentrische Calcul. [s.l.]: Verlag von Johann Ambrosius Barth, 1827. (německy) 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. [s.l.]: Matfyzpress, 2005. ISBN 80-86732-57-6. 

Reference

Portály: Matematika