Špičaté těleso

Špičaté těleso

Špičaté těleso je těleso se základnou, ve které všechny body po obvodu jsou spojeny s vrcholem, kde:

$S_{b}$ je plocha základny vespod (největší část)

v je výška vrcholu od základny (kolmá).

Objem

Objem se počítá tak, že naše těleso rozsekáme po výšce tedy na ose y na tenké plátky o tloušťce d y a ty zintegrujeme dohromady integrálem.

$V=\int _{0}^{v}{S(y)dy}$,

kde

$S(y)=S_{b}.(1-{\frac {y}{v}})^{2}=S_{b}.(1-{\frac {2.y}{v}}+{\frac {y^{2}}{v^{2}}})$,

potom

$V=S_{b}\int _{0}^{v}{(1-{\frac {2.y}{v}}+{\frac {y^{2}}{v^{2}}})dy}=S_{b}.[y-{\frac {2.y^{2}}{2v}}+{\frac {y^{3}}{3.v^{2}}}]_{0}^{v}=S_{b}.(v-{\frac {2.v^{2}}{2v}}+{\frac {v^{3}}{3.v^{2}}}-0)=S_{b}.(v-v+{\frac {v}{3}})$.

Z toho vyplývá, že

$V=S_{b}.{\frac {1}{3}}v$

a vidíme zde, že je naprosto jedno, jaký tvar má základna a kde je vrchol, důležité je jen, v jaké kolmé výšce od základny se vrchol nachází, a dále může být mimo základnu a nebo nad ní či kdekoliv.

Povrch

Povrch vypočítáme tak, že sečteme povrch základny a pláště. Povrch pláště zase tak, že obvod základny rozdělíme na body s tloušťkou $di$ a délkou L(i),

kde L(i) je délka spojnice bodu $di$ a vrcholu.

$P=\int _{0}^{l}{L(i)di}$