Čechova kohomologie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Čechova kohomologie je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie. Používá se však také v matematické teoretické fyzice, globální analýze a diferenciální topologii a geometrii.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť X je topologický prostor, \mathcal{U} = (U_j)_{j \in J} otevřené pokrytí X, \mathcal{F} je svazek abelovských grup nad X a i je libovolné nezáporné celé číslo.

Definujme C^i(X,\mathcal{F}) = \prod_{(j_0, \ldots, j_i)\in J^i} \mathcal{F}(U_{j_0} \cap \ldots \cap U_{j_i}). Sčítání definujeme po složkách, tj. (f_0^a,\ldots, f_i^a) + (f_0^b,\ldots, f_i^b) = (f_0^a + f_0^b, \ldots, f_i^a + f_i^b). S touto operací je C^i(X,\mathcal{F}) abelovská grupa. Pokud a je element \mathcal{F}(U_{j_0} \cap \ldots \cap U_{j_i}) pro nějaké (j_0,\ldots, j_i) \in J^{i+1}, označíme tento fakt na symbolické úrovni pomocí a=a_{j_0 \ldots j_i}. (Nejedná se o definic konkrétního prvku.)

Definujme homomorfismus \delta^i: C^i(X,\mathcal{F}) \to C^{i+1}(X,\mathcal{F}) předpisem \delta^i (a) = \sum_{j=0}^{i+1} (-1)^j a_{(i_0 \ldots \hat{i_j} \ldots i_{i+1})}. Lze ověřit, že \delta^{i+1}\delta^i = 0, tj. že \delta^i je tzv. kořetězcové zobrazení (komplexů abelovských grup) popřípadě tzv. gradovaný diferenciál.

Pak i-tá Čechova kohomologická grupa \check{H}^i(X,\mathcal{F}) pro X, \mathcal{U} a \mathcal{F} je faktorgrupa  \frac{\mbox{Ker}(\delta^i)}{\mbox{Im}(\delta^{i-1})}.

Definice má smysl, neboť \mbox{Im}(\delta^{i-1}) \subseteq \mbox{Ker}(\delta^i), jak plyne z \delta^{i}\delta^{i-1} = 0.

Navíc, jelikož je C^i(X,\mathcal{F}) abelovská, je její každá podgrupa normální, a proto je i podíl grupou, a to grupou abelovskou.

Terminologie[editovat | editovat zdroj]

  • Elementy C^i(X,\mathcal{F}) se nazývají kořetězce.
  • Homomorfismus \delta^i se nazývá Čechův kodiferenciál.
  • Elementy z \mbox{Ker}(\delta^i) nazýváme kocykly.
  • Elementy z \mbox{Im}(\delta^{i-1}) nazýváme kohranice.

Předpona „ko“ se dodává zejména z toho důvodu, že diferenciál zobrazuje  C^i(X,\mathcal{F}) \to C^{i+1}(X,\mathcal{F}) . (V případě „opačného směru“ by se předpona „ko“ vynechávala.)

Čechovy kohomologické grupy definoval český matematik Eduard Čech. Na jeho počest se v jejich označení objevuje diakriticismus: háček nad písmenem H.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Pokud X je parakompaktní, lze ukázat, že Čechova kohomologická grupa nezávisí na výběru pokrytí \mathcal{U}. O tom, jak Čechovu kohomologii v některých případech počítat, nás informuje tzv. Lerayova věta o dobrém pokrytí pro Čechovu kohomologii.

Tzv. deRhamova věta dává do souvislosti Čechovu kohomologickou grupu a deRhamovu grupu kompaktní diferencovatelné variety. Tato věta zní.

Nechť X je kompaktní diferencovatelná varieta a \mathcal{R} je svazek lokálně konstantních reálných funkcí na X. Pak existuje izomorfismus abelovských grup H^i_{dR}(X,\mathbb{R}) a  \check{H}^i(X,\mathcal{R}) .

Zatímco deRhameova kohomologická grupa dle definice zachycuje informaci o uzavřených diferencovatelných formách, které nejsou exaktní, a tak se do jisté míry vyjadřuje k řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic na hladkých varietách, Čechova kohomologie se na základě své definice zdá spíše objektem kombinatorického rázu, a proto je deRhameova věta pokládána za překvapivé tvrzení.