Čechova kohomologie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Čechova kohomologie je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie. Používá se však také v matematické teoretické fyzice, globální analýze a diferenciální topologii a geometrii.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je topologický prostor, otevřené pokrytí , je svazek abelovských grup nad a je libovolné nezáporné celé číslo.

Definujme Sčítání definujeme po složkách, tj. S touto operací je abelovská grupa. Pokud a je element pro nějaké , označíme tento fakt na symbolické úrovni pomocí (Nejedná se o definici konkrétního prvku.)

Definujme homomorfismus předpisem Lze ověřit, že , tj. že je tzv. kořetězcové zobrazení (komplexů abelovských grup) popřípadě tzv. gradovaný diferenciál.

Pak -tá Čechova kohomologická grupa pro , a je faktorgrupa

Definice má smysl, neboť jak plyne z

Navíc, jelikož je abelovská, je její každá podgrupa normální, a proto je i podíl grupou, a to grupou abelovskou.

Terminologie[editovat | editovat zdroj]

  • Elementy se nazývají kořetězce.
  • Homomorfismus se nazývá Čechův kodiferenciál.
  • Elementy z nazýváme kocykly.
  • Elementy z nazýváme kohranice.

Předpona „ko“ se dodává zejména z toho důvodu, že diferenciál zobrazuje . (V případě „opačného směru“ by se předpona „ko“ vynechávala.)

Čechovy kohomologické grupy definoval český matematik Eduard Čech. Na jeho počest se v jejich označení objevuje diakriticismus: háček nad písmenem H.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Pokud X je parakompaktní, lze ukázat, že Čechova kohomologická grupa nezávisí na výběru pokrytí O tom, jak Čechovu kohomologii v některých případech počítat, nás informuje tzv. Lerayova věta o dobrém pokrytí pro Čechovu kohomologii.

Tzv. deRhamova věta dává do souvislosti Čechovu kohomologickou grupu a deRhamovu grupu kompaktní diferencovatelné variety. Tato věta zní.

Nechť je kompaktní diferencovatelná varieta a je svazek lokálně konstantních reálných funkcí na . Pak existuje izomorfismus abelovských grup a .

Zatímco deRhameova kohomologická grupa dle definice zachycuje informaci o uzavřených diferencovatelných formách, které nejsou exaktní, a tak se do jisté míry vyjadřuje k řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic na hladkých varietách, Čechova kohomologie se na základě své definice zdá spíše objektem kombinatorického rázu, a proto je deRhameova věta pokládána za překvapivé tvrzení.