Čebyševova funkce

Čebyševovy funkce jsou dvě navzájem příbuzné aritmetické funkce, které se v teorii čísel často používají, zejména při studiu rozložení prvočísel. Jsou pojmenovány po ruském matematikovi Pafnutiji Čebyševovi.

První Čebyševova funkce

První Čebyševova funkce $\vartheta (x)$ je definována jako

\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p

,

kde $p$ jsou prvočísla menší nebo rovna $x$ a $\log$ značí přirozený logaritmus.

Druhá Čebyševova funkce

Druhá Čebyševova funkce $\psi (x)$ má několik ekvivalentních zápisů:

\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p

,

kde $\Lambda (n)$ je von Mangoldtova funkce.

Vzájemný vztah funkcí

Druhou Čebyševovu funkci lze vyjádřit pomocí první takto:

\psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p

kde $k$ je jediné přirozené číslo, pro které platí $p^{k}\leq x<p^{k+1}$ .

Mezi druhou a první Čebyševovou funkcí existuje také přímý vztah:^[1]:

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right).$

Tento nekonečný součet však ve skutečnosti obsahuje jen konečný počet nenulových členů. Důvodem je, že výraz $\vartheta (x^{\frac {1}{n}})$ je roven nule, jakmile $x^{\frac {1}{n}}<2$ , protože funkce $\vartheta (y)$ je definována jako součet $\log p$ přes všechna prvočísla $p\leq y$ , přičemž ale žádné prvočíslo není menší než $2$ .

Z toho plyne, že členy součtu mizí, jakmile

$x^{1/n}<2\quad \Leftrightarrow \quad n>{\frac {\log x}{\log 2}}=\log _{2}x.$

Takže pro $n>\log _{2}x$ je hodnota $\vartheta (x^{\frac {1}{n}})=0$ , a tedy i členy v součtu jsou nulové. Proto má tento součet jen přibližně $\log _{2}x$ nenulových členů.

Explicitní vzorec pro druhou Čebyševovu funkci

V roce 1894 matematik Hans Carl Friedrich von Mangoldt dokázal, že Čebyševovu druhou funkci $\psi (x)$ lze předepsat explicitně pomocí součtu přes všechny netriviální nuly Riemannovy zeta funkce^[2]:

\psi (x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),

kde $\rho$ značí netriviální nuly Riemannovy zeta funkce, tj. komplexní čísla $\rho$ pro která platí $\zeta (\rho )=0$ a zároveň $0<\operatorname {Re} (\rho )<1$ .

Reference

↑ APOSTOL, Tom M. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1976. ISBN 978-0387901633. S. 75-76.
↑ DAVENPORT, Harold. Multiplicative Number Theory. New York: Springer, 2000. ISBN 978-0-387-95097-6. S. 104.

Související články

[1] APOSTOL, Tom M. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1976. ISBN 978-0387901633. S. 75-76.

[2] DAVENPORT, Harold. Multiplicative Number Theory. New York: Springer, 2000. ISBN 978-0-387-95097-6. S. 104.

[1]

[2]