Poissonovo rozdělení

Hustota pravděpodobnosti

Distribuční funkce

Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti má náhodná veličina, která vyjadřuje počet výskytů málo pravděpodobných, řídkých jevů v určitém časovém, resp. objemovém intervalu.

Poissonovo rozdělení bývá označováno jako rozdělení řídkých jevů, neboť se podle něj řídí četnosti jevů, které mají velmi malou pravděpodobnost výskytu. Poissonovo rozdělení se používá k aproximaci binomického rozdělení pro velký počet pokusů, tzn. $n\to \infty$ a malou pravděpodobnost výskytu sledovaného jevu v jednom pokusu, tzn. $p\to 0$. Obvykle můžeme binomické rozdělení aproximovat Poissonovým tehdy, pokud $n>30$ a $p\leq {\frac {1}{10}}$. V takovém případě je $\lambda =np$.

Rozdělení pravděpodobnosti

Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti lze pro všechny hodnoty $x=0,1,2,...$ náhodné veličiny $X$ vyjádřit pomocí parametru $\lambda >0$ jako

$P(X=x)={\frac {\lambda ^{x}}{x!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }$

Charakteristiky rozdělení

Poissonovo rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota Poissonova rozdělení je

$\operatorname {E} (X)=\lambda$

Rozptyl má hodnotu

$\operatorname {D} (X)=\sigma ^{2}(X)=\lambda$

Pro koeficient šikmosti dostaneme

$\gamma _{1}={\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}$

Hodnota koeficientu špičatosti je

$\gamma _{2}={\frac {1}{\lambda }}$

Momentová vytvořující funkce Poissonova rozdělení má tvar

$m(z)=\mathrm {e} ^{\lambda (\mathrm {e} ^{z}-1)}$

Vícerozměrné Poissonovo rozdělení

Vícerozměrné Poissonovo rozdělení je rozdělení náhodného vektoru $X$, jehož složky $X_{i}$ pro $i=1,2,...,n$ mají Poissonovo rozdělení s parametry $\lambda _{i}$. Sdruženou pravděpodobnost vícerozměrného Poissonova rozdělení lze vyjádřit jako

$P(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\left\{{\begin{matrix}\mathrm {e} ^{-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}{\frac {\lambda _{1}^{x_{1}}\lambda _{2}^{x_{2}}\cdots \lambda _{n}^{x_{n}}}{x_{1}!x_{2}!\cdots x_{n}!}}&{\mbox{ pro }}x_{i}=1,2,...,\;\lambda _{i}>0\\0&{\mbox{ jinak }}\end{matrix}}\right.$

pro $i=1,2,...,n$.

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru

$m(z_{1},z_{2},...,z_{n})=\mathrm {e} ^{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left(\mathrm {e} ^{z_{i}}-1\right)}$

Příklady

• Velký význam má Poissonovo rozdělení v teorii hromadné obsluhy, kde popisuje takové náhodné jevy jako jsou příchody zákazníků.
• Počet pulsů registrovaných GM-trubicí za zvolený časový interval.
• Počet aut, která projedou určitým místem za daný čas.
• Počet branek za fotbalový zápas.

Související články

• Binomické rozdělení

Externí odkazy

• Online kalkulátor Poissonova rozdělení