Základní věta aritmetiky
Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel.
Přesná formulace
Pro každé přirozené číslo existuje právě jedna skupina přirozených čísel větších než 0: a právě jedna skupina podle velikosti seřazených prvočísel: tak, že
Nástin důkazu
Tvrzení se dokazuje matematickou indukcí:
- pro prvočísla (a tedy i konkrétně pro číslo 2) věta triviálně platí - prvočíslo p lze rozložit právě jedním způsobem:
- pokud platí pro všechna , pak je buď prvočíslo (viz výše), nebo součin nějakých dvou menších čísel - spojením jejich jednoznačných prvočíselných rozkladů získám určitě minimálně jeden rozklad
- zbývá ukázat, že tento rozklad je jednoznačný, tj. stejný, ať zvolím součin jakýmkoliv způsobem - dokazuje se sporem (pokud pro existují dva různé rozklady, pak musely existovat dva různé rozklady také pro nějaké menší číslo, což je ve sporu s indukčním předpokladem)