Zobecněná energie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Zobecněná energie označuje ve fyzice veličinu, která v Lagrangeovské formulaci mechaniky vyjadřuje energii systému prostřednictvím Lagrangeovy funkce a zobecněných souřadnic.

[editovat] Odvození

Předpokládejme, že Lagrangeova funkce $\mathcal{L}$ nezávisí explicitně na čase, tzn.

$\frac{\part\mathcal{L}}{\part t}=0$

V takové případě existuje integrál pohybových rovnic, který lze zapsat jako

$\mathcal{E} = \sum_j \frac{\part\mathcal{L}}{\part\dot{q}_j}\dot{q}_j - \mathcal{L}$

Veličina $\mathcal{E}$ představuje zobecněnou energii.

Nezávislost tohoto řešení na čase lze dokázat přímým výpočtem, tedy derivací řešení podle času a použitím Lagrangeovy rovnice druhého druhu, tzn.

$\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}t} = \sum_i\left( \dot{q}_i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\part\mathcal{L}}{\part \dot{q}_i} + \frac{\part\mathcal{L}}{\part \dot{q}_i}\ddot{q}_i - \frac{\part\mathcal{L}}{\part \dot{q}_i}\ddot{q}_i - \frac{\part\mathcal{L}}{\part q_i}\dot{q}_i - \frac{\part\mathcal{L}}{\part t} \right) = \sum_i \dot{q}_i\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\part\mathcal{L}}{\part \dot{q}_i} - \frac{\part\mathcal{L}}{\part q_i}\right) - \frac{\part\mathcal{L}}{\part t} = 0$

[editovat] Vlastnosti

Pokud Lagrangeova funkce neobsahuje čas, pak lze zobecněnou energii vyjádřit jako

$\mathcal{E} = T + V$ ,

kde $T$ je funkce kinetické energie (v zobecněných souřadnicích) a $V$ vyjadřuje potenciální energii (v zobecněných souřadnicích).

Z podmínky $\frac{\part\mathcal{L}}{\part t}=0$ plyne, že zobecněná energie $\mathcal{E}$ se zachovává, pokud Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na čase.

[editovat] Související články

Zobecněná energie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

[editovat] Odvození

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Související články

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledání

Navigace

Nástroje