Wikipedista:Mrneo
Gravitační síla Newtonův gravitační zákon V této kapitole Tě čeká jeden z nejdůležitějších fyzikálních zákonů – zákon pro gravitační sílu, sílu, která je ze všech fyzikálních sil nejslabší, ale přesto má rozhodující vliv na to, jak vesmír vypadá. Zákon gravitační síly objevil v poslední čtvrtině sedmnáctého století Isaac Newton, jeden z největších fyziků historie. Newton nebyl pouze objevitelem gravitačního zákona, objevil i tři pohybové zákony, které jsme probírali dřív. navíc vymyslel jeden druh dalekohledů (to se učit ještě budeš) a dva druhy matematiky – infinitezimální počet (ten se učí na většině gymnázií v matematice ve čtvrtém ročníku a umožňuje přesné zacházení s měnícími se veličinami jako je rychlost nebo zrychlení. Právě neznalost této části matematiky nás nutila ke kreslení grafů a počítání v tabulkách.) a variační počet (Ten se na gymnáziu neučí. Umožňuje řešit úlohy na hledání maxim a minim). Má na kontě i řadu dalších objevů a prakticky až do chvíle, kdy přišel Einstein s teorií relativity, bylo jeho dílo pevným, spolehlivým a nezpochybňovaným základem fyziky. Než se pustíme do objevování, uděláme krátkou rekapitulaci znalostí, které měl Newton k dispozici. Newton věděl, že Země je kulatá. Tento ještě na počátku šestnáctého století odvážný nápad, byl v jeho době potvrzen mnoha pokusy i několika obeplutími zeměkoule. Díky obrovském rozvoji mořeplavby měl k dispozici velmi přesná měření pohybů tehdy známých těles sluneční soustavy a téměř určitě znal i formulace Keplerových zákonů, které popisují (ale nevysvětlují) pohyb planet kolem Slunce (povíme si nich později). Věděl o Galileiho pokusech s padáním předmětů a jeho výsledkem, který říká, že tělesa o různých hmotnostech padají na zem stejnou rychlostí. V této situaci, se znalostmi, které jsi dosud nabyl, ti zbývají dva zřejmé problémy. Za prvé víme, že existuje síla, která nutí padat všechny předměty k Zemi, ale nevím jaká je její příčina ani kde se bere její směr a velikost. Za druhé potřebujeme najít sílu, která řídí pohyb planet kolem Slunce. Známe sice zákony, které tento pohyb popisují, ale nic nám neříkají o jeho příčinách. Možná největší Newtonův přínos byl v tom, že ho napadlo řešit oba problémy jako jeden. Jeho přístup „zákony řídící pohyb předmětů na Zemi jsou stejné jako zákony řídící pohyb planet a hvězd“ byl v době, kdy se noční nebe považovalo za něco naprosto nepozemského zcela nový. Newton šel ještě dál a zkusil oba předchozí problémy řešit jediným způsobem – objevil gravitační sílu. Nejdřív pořádně prozkoumáme obě nepoznané síly. Jak by si mohl stanovit přírodní zákon, který popisuje tendenci předmětů padat dolů? Na všechny předměty na Zemi působí síla, směrem kolmo dolů, jejíž velikost je přímo úměrná hmotnosti tělesa. To zní docela rozumě. S Newtonem se pojí pověst o jablku, které mu padlo na hlavu a tím ho k teorii gravitace inspirovalo. Použijeme tedy také jablka. Na obrázku dvou jabloní si vyber po jednom jablku a nakresli síly, o kterých si před chvílí mluvil.
Dobře, teď obrázek trochu zvětšíme. Jabloně už nebudou v jednom sadu blízko vedle sebe, ale každá na opačném konci zeměkoule. Jedna v Anglii, druhá v Austrálii. Zase si vyber jablka a nakresli k nim síly.
Teď to ovšem přestává fungovat předchozí pravidlo. Říkal jsi, že na jablka působí síla, směrem kolmo dolů. Jak vypadá směr kolmo dolů na prvním obrázku chápu, ale na druhém? Kolmo dolů znamená na každém místě Země něco jiného. Zkus teda opravit definici tak, aby byla jednoznačná a platila pro všechna místa na Zemi. Na všechny předměty na Zemi působí síla, se směrem do středu Země, jejíž velikost je přímo úměrná hmotnosti tělesa. Tato definice už je přijatelná, ale mnoho nového jsme se z ní o této síle nedozvěděli. Směřuje do středu Země a působí na tělesa na Zemi. Taková definice dává Zemi ve Vesmíru zcela speciální postavení. S tím nemůže být od chvíle, kdy Koperník ukázal, že Země takové postavení ve Vesmíru nemá, nikdo příliš spokojený. Daleko přirozenější by byla myšlenka, že když je Země zcela normální běžné těleso, platí pro ní zcela stejné a běžné zákony, jako pro jiné planety. Přejdeme k druhému problému – k pohybu planet. První Keplerův zákon popisuje pohyb planet kolem Slunce: „Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce“. Tento Keplerův zákon pouze konstatuje fakt, o tom jakým způsobem se planety kolem Slunce pohybují, nic neříká o tom, proč to tak dělají. Zkus za předpokladu, že pro planety platí stejné zákony jako pro tělesa na Zemi vysvětlit jejich pohyb kolem Slunce. Pro zjednodušení můžeš předpokládat, že planety se kolem Slunce pohybují po kružnicích. Kdyby se planeta chovala stejně jako obyčejná kulička na Zemi, tak by chtěla letět pořád rovně. K tomu obíhání kolem Slunce ji musí donutit nějaká síla. Je to podobné jako s kuličkou uvázanou na provázku. Letěla by rovně, ale síla provázku ji nutí obíhat dokola. To zní rozumně. Nakresli do obrázku Slunce a planet, jak by taková síla musela vypadat.
Podívej se na síly, které si nakreslil do obrázku s jablky a na síly, které si nakreslil do obrázku s planetami. Není na nich něco nápadného? Oba druhy sil jsou si podobné. Směřují do středu tělesa uprostřed. Vypadají úplně stejně vždycky směřují do středu toho předmětu kolem, kterého ostatní obíhají nebo na který padají. Buď do středu Země nebo do středu Jupitera nebo do středu Slunce. Tady je asi nejdůležitější krok k teorii gravitace. Síly u obou obrázků jsou si tak podobné, že to přímo vnucuje myšlenku, že jde jednu a tutéž sílu. Budeme dále předpokládat, že síla, která nutí padat ze stromů jablka, má stejný původ jako síla, která drží Měsíc na oběžné dráze kolem Země a Zemi na oběžné dráze kolem Slunce. Její směr už známe – směřuje vždy do středu tělesa, které přitahuje. Zbývá jenom odhalit vzorec na určení její velikosti. Na čem by taková síla mohla záviset? Určitě na hmotnosti přitahovaného předmětu. Dosud jsme používali zákon , gravitační síla je v něm přímo úměrná hmotnosti tělesa.
Dobře, to je rozumná úvaha. Podívej se na obrázku s planetami na Jupiter a Zemi. Co je na těchto dvou planetách zajímavé, v čem je jejich postavení zvláštní?
Obě planety jsou jednak objekty přitahování (přitahuje je k sobě Slunce) a jednak sami přitahují své měsíce.
To je druhý důležitý postřeh. Říkali jsme si, že gravitační síla přitahuje předměty k některým tělesům (Slunci, Zemi). Víme už jaký má směr i že její velikost závisí na hmotnosti přitahovaného tělesa. Nyní musíme rozřešit, která tělesa přitahují někoho jiného a která se nechávají přitahovat. Které předměty přitahuje Země?
Úplně všechny, které něco váží.
Patří mezi ně i Měsíc?
Určitě, jinak by Zemi uletěl.
Která další tělesa se podle obrázků nechávají přitahovat?
Všechny kromě Slunce – toho není nakreslená žádná síla.
Dobře zatím to tedy vypadá, že přitahovat se dají všechny tělesa s jedinou možnou výjimkou – možná kromě Slunce. Která tělesa mají schopnost přitahovat?
Určitě Slunce, Země, Jupiter.
A co další?
Těžko říct, asi ne.
Cítíš na sobě, jak Tě přitahuje Slunce?
Ne.
A patří Sluce mezi předměty, které dokáží ostatní přitahovat?
Určitě ano.
Jak je to možné? Třeba mě Země přitahuje daleko víc a sluneční přitahování vedle zemského není poznat.
Může přitahovat ostatní předměty Měsíc.
Asi může.
Ano dokonce je to přitahování velice dobře pozorovatelné na odlivu a přílivu, každý den ve všech mořských oblastech. Před chvílí jsme zjistili, že Země přitahuje všechny tělesa, které mají hmotnost. Jak se poznají tělesa, která jsou schopná přitahovat ostatní?
Jsou hodně těžká, třeba jsou to planety.
Pokud schopnost přitahovat mají jen některá tělesa je zcela oprávněná otázka:“Kdy je těleso už dost těžké, aby přitahovalo ostatní? To nevím. Dostáváme se k problému, který jsme už jednou potkali. Když jsme si povídali o zákonu setrvačnosti, zjistili jsme, že dráha kuličky se při snižujícím se tření prodlužuje. Ze dvou možností (existuje nějaká speciální vzdálenost, kterou by kulička urazila při nulovém tření a kulička pojede pořád) jsme si vybrali tu, která byla méně výjimečná – kulička se pohybuje pořád. Víme, že existují tělesa, která dokážou přitahovat ostatní. Síla přitahování, které těleso způsobuje, asi roste s jeho hmotností. Když se jeho hmotnost snižuje, jeho schopnost přitahovat se zmenšuje. Buď se bude postupně snižovat, ale nikdy se zcela neztratí a nebo existuje určitá speciální hmotnost, při které se schopnost přitahovat ostatní zcela ztratí. Co se Ti líbí víc?
Asi to první.
Vybral jsi si dobře. Můžeme argumentovat i takto. Proč necítíme přitahování od spolusedícího? On nás sice přitahuje, ale jeho hmotnost (a tedy schopnost přitahovat mě) je v porovnání s hmotností Země strašně malá a tak ji nemůžu vůbec pozorovat. Diskusi můžeme uzavřít tím, že schopnost přitahovat mají všechny předměty ve vesmíru, jejich schopnost přitahovat však závisí na jejich hmotnosti a proto je například síla, kterou Tě přitahuje židle je vedle síly, kterou Tě přitahuje Země zanedbatelná, stejně jako je zanedbatelná hmotnost židle v porovnání s hmotností Země. Na které předměty tato síla působí?
Vypadá to, že na všechny.
Na čem tato síla závisí?
Na hmotnosti předmětu, který přitahování způsobuje a na hmotnosti předmětu, který je přitahován.
Jak vidíš víme toho o naší síle docela dost. Přitahovací síla působí na každý předmět a zároveň je způsobována každým předmětem, její velikost je tím větší, čím je těžší předmět, který ji způsobuje i čím, je těžší předmět, na který působí. To je zajímavý výsledek, bezděky se nám podařilo najít pro přitahovací sílu takové pravidlo, že bude splňovat třetí Newtonův zákon. Země přitahuje jablko a zároveň jablko přitahuje Zemi. Bude přitahovací síla záviset ještě na něčem jiném než jsou hmotnosti předmětů, které ji způsobují?
Asi by měla záviset na jejich vzdálenosti, jinak by jablka na Zemi musely padat směrem ke Slunci. Slunce je daleko těžší než Země, muselo by je tedy více přitahovat.
Jaká bude závislosti síly na vzdálenosti?
Určitě nepřímá úměrnost, čím větší vzdálenost, tím menší síla. Přitahování Slunce by tak mohlo být na Zemi menší než přitahování Země. Slunce je daleko, Země je blízko.
Navrhni vzoreček.
´
Vzoreček odpovídá všem našim požadavkům, přesto v něm chybí dvě věci. Síla je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti obou předmětů, ve jmenovateli zlomku tak chybí druhá mocnina. Druhou chybou je konstanta úměrnosti. Ve vzorci vystupuje gravitační konstanta . Správný vzorec pro výpočet gravitační síly je tedy . Než ho začneme používat musíme si trochu ujasnit, co znamenají exponenty v zápisu hodnoty gravitační konstanty. Pomocí exponentů si můžeme ulehčit zápis opakovaného násobení. Platí například:
Co znamená ?
To je tisíc .
Zápis pro 1000 by byl zbytečný, ale zápis větších čísel už je s pomocí exponentů podstatně rychlejší. Například číslo 1000 000 000 000 (tisíc miliard neboli bilión) se rychle zapíše (počet nul v čísle je číslem v exponentu). Podobně jako velmi velká čísla se dají pomocí exponentů snadno zapisovat i čísla velmi malá. Před číslo v exponentu se zapíše pouze znaménko mínus a místo čísel před desetinou čárkou exponent znamená čísla za ní. Například číslo je 0,001. Exponent se záporným číslem totiž neznamená násobení, ale dělení . Urči číslo .
to je jedna milióntina.
Snadný a rychlý zápis velmi velkých nebo velmi malých násobků deseti pomocí exponentů se využívá při zápisu velkých nebo naopak malých čísel. Například číslo si napíšeme jako součin , druhé číslo v součinu pak zapíšeme pomocí exponentu . Zápis čísla se tak zkrátí a nemusíme počítat nuly, abychom zjistili, jak je číslo vlastně velké. Podobně můžeme zapsat i číslo 0,000000000000045. . Konečný tvar je daleko přehlednější než ten počáteční. Tomuto druhu zápisu se říká exponenciální zápis čísla. Číslo se zapíše jakou součin čísla v rozmezí 1 až 10 (říká se mu mantisa) a mocniny desítky (exponent). Zapiš běžným způsobem následující čísla uvedená v exponenciálním tvaru - a .
Dobře, teď zkus zapsat normální čísla v exponenciálním tvaru - a .
V exponenciálním tvaru se ve fyzice udávají všechna čísla a pomocí exponentů se zapisují i jednotky. Například místo se píše . Zapiš tímto způsobem jednotku zrychlení.
Jednotkou zrychlení je . Zapíšeme to takto: .
Velmi velká a velmi malá čísla se zapisují v exponenciálním tvaru, například nebo .
Teď se vrátíme ke gravitačnímu zákonu. Vzorec pro výpočet gravitační síly, kterou se přitahují dva předměty o hmotnostech a vzdálené od sebe, zní . Když jej Newton objevoval jeho největším problémem bylo zvážení Země. Její hmotnost mu pak umožnila určit velikost gravitační konstanty. My velikost gravitační konstanty známe, takže se můžeme pokusit vypočítat hmotnost Země ihned. Budeme si muset při výpočtu dát na něco pozor?
Musíme najít nějaké těleso, u kterého známe velikost síly, kterou ho Země přitahuje.
Takových předmětů máme víc než dost. Jakou silou Tě přitahuje Země?
Vážím 65 kg, takže silou 650 N.
Předmět už máme zkus to vypočítat.
To asi nepůjde, protože moje vzdálenost od Země je nulová, při výpočtu síly bych pak dělil nulou a síla by vyšla nekonečně velká.
Tím jsme se dostali k jádru problému. Při odvozování vzorce jsme vůbec neuvažovali, zda mají předměty, které se přitahují, vůbec nějaké rozměry – proto odvozený vzorec bude platit přesně pouze pro hmotné body. Pro ostatní tělesa bude platit pouze s takovou přesností s jakou můžeme předměty za hmotné body považovat.
Dva hmotné body o hmotnostech a ve vzdálenosti se navzájem přitahují gravitační silou jejíž velikost je určena vzorcem .
Budeme moci použít tento vzorec pro výpočet síly, kterou Tě přitahuje Země?
To nepůjde, protože velikost Země je daleko větší než vzdálenost mezi Zemí a mnou. Velikost Země potom nemůžu zanedbat a vzorec použít.
Přesně tak. Žulová kostka, na které stojíš (vzdálenost od Tebe řádově 1 mm), Tě přitahuje daleko víc, než stejná kostka v Austrálii (vzdálenost 12 000 000 m). Přesto je možné přitažlivou sílu spočítat. Můžeme si Zemi rozdělit na malé kousky (třeba žulové kostky), spočítat si sílu, kterou Tě přitahuje každá z nich a pak tyto síly sečíst dohromady. Když tento postup podám tímto způsobem, vypadá to, že výpočet musí být tak zdlouhavý až je fakticky nekonečný. Přesto existují matematické postupy, kterými se dá velikost síly rychle spočítat. Zajímavý je jeden výsledek, který říká, že přitažlivá síla, kterou na sebe působí dvě kulová tělesa je stejná jako v případě, že bych je nahradil hmotnými body o stejných hmotnostech vzdálených od sebe tak, jak jsou od sebe daleko jejich středy. Ke koulím se můžeme chovat stejně jako k hmotným bodům.
Dvě kulová tělesa o hmotnostech a jejichž středy jsou od sebe vzdáleny se navzájem přitahují gravitační silou jejíž velikost je určena vzorcem .
Půjde teď spočítat přitažlivou sílu?
Dává to už trochu smysl, ale považovat se za kouli moc nemůžu.
Uvažuj , že koule jsi.
Pak mám dvě tělesa, přitahují se silou 650 N, první má hmotnost 65 kg (to jsem já), hmotnost druhého neznám. Jejich vzdálenost je rovna velikosti zemského poloměru (6378 km). Dosadit nebude problém.
Ještě než začneš počítat, bych jenom připomněl, že Tvoje velikost je proti Zemskému poloměru zcela zanedbatelná a proto je docela přijatelné, Tě považovat za hmotný bod.
Přepíšu vzorec a vyjádřím si hmotnost Země: a dosadím: .
Kdybychom hmotnost Země zapisovali klasicky získali bysme strašné číslo . Zkontroluj hodnotu v tabulkách…
Urči přibližnou velikost gravitační síly, kterou se přitahují dva lidé stojící asi 1 m od sebe.
To podle vzorečku udělat nepůjde, protože nemůžu považovat dva lidi za koule ani za hmotné body, když jsou jen metr od sebe.
Máš pravdu, že přesný výsledek nezískáme, ale nám stačí pouze přibližný výsledek.
Použiju tedy vzorec. Výpis zadání: , , ,
Dva lidi ve vzdálenosti 1 m se přitahují přibližně silou .
Mám jednu připomínku ke tvaru, ve kterém jsi uvedl výsledek. Sílu jsme počítali pouze přibližně, situace neodpovídala podmínkám, ve kterých platí vzorec. Výsledek je však uveden na tři platná čísla. To neodpovídá. Správná odpověď by byla přibližně nebo řádově . Síla, kterou se přitahují dva lidé, je velice malá. Je zcela zanedbatelná v porovnání se silami, kterými na sebe budou působit při vzájemném dotyku. Jediná podstatná gravitační síla, která na každého z nás působí je přitahování od blízké a velice hmotné Země. Ačkoliv je gravitační síla velice slabá, ve velkých rozměrech je nejdůležitější silou ve vesmíru, rozhoduje o tom, jak bude vypadat. Je to způsobeno hlavně tím, že je vždy pouze přitažlivá a na rozdíl od elektrických sil ji nelze odstínit. Pokud se nacházíš blízko hmotného tělesa neexistuje způsob (kromě zrychleného pohybu), jak před Tebou schovat jeho gravitační působení. Gravitace se zásadně liší od všech sil, které jsme dosud probírali. Tahová, tlaková i třecí síla působí mezi předměty, které se navzájem dotýkají. Gravitační síla však působí „na dálku“. Země se Měsíce nedotýká, přesto na něj působí gravitační silou, která ho drží na oběžné dráze. Působení na dálku dokonce vynucuje i vzorec pro velikost gravitační síly, při nulové vzdálenosti by síla byla nekonečná. Způsob jakým se Měsíc doví o tom, že ho chce Země přitahovat, zůstává tajemstvím. Většinou se využívá představa gravitačního pole. Prostor kolem Země se její přítomností mění, je do něj vložena nějaká podmínka, která říká, že všechny hmotné předměty mají být přitahovány k Zemi. Gravitační pole kolem Země se občas kreslí jako prohlubeň v prostoru kolem ní. Gravitační síla nám odpověděla na otázku proč planety obíhají kolem Slunce. Přinesla však další otázku, na kterou zatím neumíme uspokojivě odpovědět: „Proč se všechny předměty navzájem přitahují gravitační silou“? Vrátíme se ke gravitačnímu poli. Zatím pro nás zůstává jenom abstraktní myšlenkou, kterou musíme nějak znázornit. Co musíme v zobrazení gravitačního pole zachytit, aby zobrazení bylo úplné?
Směr, kterým pole přitahuje, a jak silně přitahuje.
Vždyť v jednom určitém místě bude pole přitahovat různě těžké předměty různou silou. Jak můžeme určit, jak silně přitahuje? Co to znamená, že je pole v různých místech různě silné?
Když budu u Země blíž, tak mě přitahuje víc než když jsem dál.To, že je pole v různých místech různě silné, znamená, že v různých místech mě bude přitahovat různou silou.
To je dobrá myšlenka. Mohl bych sílu pole stanovit podle toho, jakou silou přitahuje určitý speciální předmět. Mohli bysme použít i Tebe, ale jednodušší bude použít předmět o hmotnosti 1 kg. Síla, kterou na něj působí gravitační pole, je pak číselně rovná síle pole, fyzikálně řečeno intenzitě pole. Směr intenzity pole je pak stejný jako směr gravitační síly. Každému místu v prostoru pak můžeme přiřadit vektor intenzity gravitačního pole – šipku, která ukazuje jaká gravitační síla by působila na závaží o hmotnosti 1 kg. Najdi vzorec pro velikost intenzity gravitačního pole v okolí tělesa a hmotnosti M.
Určím velikost síly, která působí na kilové závaží. .
Všimni si, že velikost intenzity gravitačního pole nezávisí na tom, jaké zkušební závaží používáme. Závisí pouze na hmotnosti předmětu, který pole způsobuje a vzdálenosti od něj, což je rozumné u veličiny, která má popsat, jak se v jeho okolí změnil prostor.
V okolí každého hmotného předmětu vzniká gravitační pole. Gravitační pole můžeme v každém bodě popsat pomocí vektoru intenzity gravitačního pole. Jeho velikost je určena vztahem a směřuje do středu tělesa.
Všechny vektory intenzity na obrázku směřují do středu Země. Takovému poli se říká centrální. Zkusíme si obrázek blízko povrchu země trochu zvětšit. Už není vidět celá Země, směr i velikost šipek se méně liší.
Obrázek se od začátku zcela změnil. Všechny šipky mají stejný směr a stejnou velikost (ve skutečnosti to samozřejmě není pravda, ale rozdíly jsou velice malé), pole je ve všech bodech stejné, nazývá se homogenní. Výpočty v takovém poli jsou samozřejmě daleko jednodušší, protože můžeme v každém bodě předpokládat, že gravitační síla je stejná, což je daleko jednodušší než ji počítat v každém místě znovu.
Jako poslední věc si ukážeme zajímavou věc. Existují dva způsoby, kterými můžeme vypočítat gravitační sílu, kterou působí Země na libovolný předmět, který je blízko jejího povrchu. Jaké to jsou?
Můžu to počítat jako gravitační sílu podle vzorečku nebo můžu použít starý vzoreček pro gravitační sílu pomocí gravitačního zrychlení .
Velikost síly musí podle obou vzorců vyjít stejně. Změním trochu indexy proměnných a zapíšu tuto rovnost: .
Podařilo se nám vypočítat velikost gravitačního zrychlení. Kde jsme viděli stejný vzorec?
Před chvilkou, když jsme určovali intenzitu gravitačního pole – získali jsme stejný výsledek.
To je zajímavá shoda. Ačkoliv jde o dvě na první pohled rozdílné veličiny - je intenzita (síla) gravitačního pole, zatímco určuje s jakým zrychlením se pohybují předměty, na které gravitační síla působí. Tato zajímavá shoda má hlubší příčiny a je jedním ze základních kamenů jedné z největších fyzikálních teorií Obecné teorii relativity Alberta Einsteina.
Diskuse o tíhové síle a tíze v okolí Země
Příklad porovnej velikost síly, kterou přitahuje země míček ve výšce 1 a 100 m nad povrchem.
V jaké výšce nad povrchem země budou předměty přitahovány poloviční silou než na povrchu?