Vlnky Daubechies

Daubechiesové vlnka se 2 nulovými momenty

Daubechiesové vlnky (Vlnky Daubechies) jsou rodinou ortogonálních vlnek pojmenovaných podle jejich objevitelky, belgické fyzičky a matematičky Ingrid Daubechies. Používají se při diskrétní vlnkové transformaci, nemají explicitní vyjádření a jejich konstrukce je složitá.

Rodina Daubechiesové vlnek je zajímavá tím, že vlnky mají známý počet nulových momentů. Jsou konstruovány tak, že na dané délce nosiče $N-1$ mají právě maximální počet nulových momentů $p$. Důsledkem toho je tato vlnka ortogonální na polynomy až do stupně $p-1$ (vlnková transformace bude v odpovídajících místech nulová). Tato vlastnost činí vlnky vhodnými k použití v aplikacích potlačení resp. získání polynomiální části signálu. Další aplikací je použití vlnky jako derivátoru (parciálního diferenciálního operátoru) daného řádu $p$ pro detekci nespojitostí v signálu a jeho derivacích.

Vlnka řádu $1$ (s jedním nulovým momentem) se také nazývá Haarova vlnka.

Vlastnosti

• asymetrické (až na $p = 1$)
• ortogonální, biortogonální
• délka filtrů (počet koeficientů) $N = 2p$
• kompaktní nosič délky $N - 1 = 2p - 1$
• vlnky $\psi$ mají $p$ nulových momentů

Výpočet koeficientů

Koeficienty škálovací funkce (dolní propusti $H_0$ při použití ortogonální banky filtrů) musejí splňovat následující podmínky.

Normalizace:

$\sum_{n=0}^{N-1} h_0[n] = \sqrt{2}$ nebo $\sum_{n=0}^{N-1} h_0[n] = 2$ (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou $\sqrt{2}$)

z čehož plyne

$\sum_{n=0}^{N-1} (h_0[n])^2 = 1$ nebo $\sum_{n=0}^{N-1} (h_0[n])^2 = 2$ (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou $\sqrt{2}$)

Ortogonalita:

$\sum_{n=0}^{N-1} h_0[n] h_0[n-2k] = 0$ pro $k \not= 0$

Nulovost momentů (uhlazenost, podmínka dolní propusti, regulárnosti):

$\sum_{n=0}^{N-1} (-1)^n h_0[n] n^m = 0$ pro $0 \leq m < N/2$

Existuje více řešení (je ovšem třeba odlišit dolní propust od horní).

Vlnky se označují jako Dx, kde x je buď počet koeficientů ($N$) nebo počet nulových momentů ($p$), tedy např. D8 může být vlnka s 8 koeficienty (a čtyřmi nulovými momenty).

Příklad

Výpočet vlnky se 4 koeficienty (označované jako D4) v MATLABu (místo $h_0$ je použito pouze značení $h$):

t = solve(
        'h0*h0 + h1*h1 + h2*h2 + h3*h3 = 1',           % normalizace
        'h2*h0 + h3*h1 = 0',                           % ortogonalita
        '+(0^0)*h0 -(1^0)*h1 +(2^0)*h2 -(3^0)*h3 = 0', % nulovost nultého
        '+(0^1)*h0 -(1^1)*h1 +(2^1)*h2 -(3^1)*h3 = 0'  % a prvního momentu (podmínky uhlazenosti)
);
r=length(t.h0);                                         % počet řešení
s=[1:r]; eval( [t.h0(s) t.h1(s) t.h2(s) t.h3(s)] )  % zobrazit řešení

Řešení (pouze dolní propusti):

h0	h1	h2	h3
-0.129409522551260	0.224143868042014	0.836516303737808	0.482962913144534
0.482962913144534	0.836516303737808	0.224143868042014	-0.129409522551260

Související články

• vlnková transformace
• kvadraturně zrcadlový filtr
• Haarova vlnka – Daubechiesové vlnka s jedním nulovým momentem
• coiflety
• symlety – rodina více symetrických vlnek se stejnými vlastnosti jako mají Daubechiesové vlnky

Literatura

• DAUBECHIES, Ingrid. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, Pennsylvania : Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. xix, 357 s. (CBMS-NSF regional conference series in applied mathematics; sv. 61.) ISBN 0898712742. (anglicky)