Vlnky Daubechies

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Daubechiesové vlnka se 2 nulovými momenty

Daubechiesové vlnky (Vlnky Daubechies) jsou rodinou ortogonálních vlnek pojmenovaných podle jejich objevitelky, belgické fyzičky a matematičky Ingrid Daubechies. Používají se při diskrétní vlnkové transformaci, nemají explicitní vyjádření a jejich konstrukce je složitá.

Rodina Daubechiesové vlnek je zajímavá tím, že vlnky mají známý počet nulových momentů. Jsou konstruovány tak, že na dané délce nosiče N-1 mají právě maximální počet nulových momentů p. Důsledkem toho je tato vlnka ortogonální na polynomy až do stupně p-1 (vlnková transformace bude v odpovídajících místech nulová). Tato vlastnost činí vlnky vhodnými k použití v aplikacích potlačení resp. získání polynomiální části signálu. Další aplikací je použití vlnky jako derivátoru (parciálního diferenciálního operátoru) daného řádu p pro detekci nespojitostí v signálu a jeho derivacích.

Vlnka řádu 1 (s jedním nulovým momentem) se také nazývá Haarova vlnka.

Vlastnosti
  • asymetrické (až na p = 1)
  • ortogonální, biortogonální
  • délka filtrů (počet koeficientů) N = 2p
  • kompaktní nosič délky N - 1 = 2p - 1
  • vlnky \psi mají p nulových momentů

Výpočet koeficientů[editovat | editovat zdroj]

Koeficienty škálovací funkce (dolní propusti H_0 při použití ortogonální banky filtrů) musejí splňovat následující podmínky.

Normalizace:

 \sum_{n=0}^{N-1} h_0[n] = \sqrt{2} nebo  \sum_{n=0}^{N-1} h_0[n] = 2 (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou \sqrt{2})

z čehož plyne

 \sum_{n=0}^{N-1} (h_0[n])^2 = 1 nebo  \sum_{n=0}^{N-1} (h_0[n])^2 = 2 (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou \sqrt{2})

Ortogonalita:

\sum_{n=0}^{N-1} h_0[n] h_0[n-2k] = 0 pro k \not= 0

Nulovost momentů (uhlazenost, podmínka dolní propusti, regulárnosti):[1]

\sum_{n=0}^{N-1} (-1)^n h_0[n] n^m = 0 pro 0 \leq m < N/2

Existuje více řešení (je ovšem třeba odlišit dolní propust od horní).

Vlnky se označují jako Dx, kde x je buď počet koeficientů (N) nebo počet nulových momentů (p), tedy např. D8 může být vlnka s 8 koeficienty (a čtyřmi nulovými momenty).

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Výpočet vlnky se 4 koeficienty (označované jako D4) v MATLABu (místo h_0 je použito pouze značení h):

t = solve(
	'h0*h0 + h1*h1 + h2*h2 + h3*h3 = 1',           % normalizace
	'h2*h0 + h3*h1 = 0',                           % ortogonalita
	'+(0^0)*h0 -(1^0)*h1 +(2^0)*h2 -(3^0)*h3 = 0', % nulovost nultého
	'+(0^1)*h0 -(1^1)*h1 +(2^1)*h2 -(3^1)*h3 = 0'  % a prvního momentu (podmínky uhlazenosti)
);
r=length(t.h0);                                         % počet řešení
s=[1:r]; eval( [t.h0(s) t.h1(s) t.h2(s) t.h3(s)] )  % zobrazit řešení

Řešení (pouze dolní propusti):

h0 h1 h2 h3
-0.129409522551260 0.224143868042014 0.836516303737808 0.482962913144534
0.482962913144534 0.836516303737808 0.224143868042014 -0.129409522551260

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. ADDISON, Paul S.. The Illustrated Wavelet Transform Handbook. [s.l.] : CRC Press, 2002. 353 s. Dostupné online. ISBN 0750306920, 9780750306928. Kapitola 3.5 Daubechies wavelets, s. 104. (anglicky) 

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • DAUBECHIES, Ingrid. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, Pennsylvania : Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. xix, 357 s. (CBMS-NSF regional conference series in applied mathematics; sv. 61) ISBN 0898712742. (anglicky)