Virtuální práce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako virtuální práce se ve fyzice označuje práce, která je výsledkem působení všech vtištěných sil působících na částici při jejím libovolném virtuálním posunutí.

Vzhledem k tomu, že virtuální posunutí nejsou skutečná, není ani práce při virtuálním posunutí skutečná.

Pro vyjádření rovnováhy mechanické soustavy lze použít princip virtuální práce.

Obsah

1 Matematická formulace
2 Princip virtuální práce
- 2.1 Princip virtuálních posunutí
- 2.2 d'Alembertův princip
3 Související články

[editovat] Matematická formulace

Pokud na $i$ -tou částici působí síly s výslednicí $\mathbf{F}_i$ , pak při virtuálním posunutí $\delta\mathbf{r}_i$ lze virtuální práci vyjádřit jako

$\delta W_i = \mathbf{F}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i$

Celková virtuální práce působící na soustavu $n$ částic se získá součtem virtuálních prací jednotlivých složek, tzn.

$\delta W = \sum_{i=1}^n \delta W_i = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i$

[editovat] Princip virtuální práce

Úkolem vazbových sil je zajistit splnění vazeb za současného působení explicitních sil. Vazby tedy nesmějí mít vliv na pohyb soustavy ve směrech dovolených v daném okamžiku vazbami. Složky vazbových sil ve směrech dovolených vazbami jsou tedy rovny nule a při pohybech soustavy v těchto směrech nekonají žádnou práci. Tento předpoklad se vyslovuje jako princip virtuální práce (někdy též označovaný jako Lagrangeův princip). Tento princip tedy vyjadřuje podmínku rovnováhy mechanické soustavy.

Princip virtuální práce je diferenciální princip používaný v lagrangeovské mechanice.

Princip lze formulovat tak, že

Virtuální práce vazbových sil je rovna nule.

Znamená to, že musí platit rovnice

$\sum_{i=1}^n \mathbf{R}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i = 0$ ,

kde $\mathbf{R}_i$ jsou výslednice vazbových sil $i$ -tého hmotného bodu a $\delta\mathbf{r}_i$ jsou virtuální posunutí.

Z principu vyrtuální práce lze získat dva nejznámější ze starších dynamických principů, a to princip virtuálních posunutí a d'Alembertův princip.

[editovat] Princip virtuálních posunutí

Princip virtuálních posunutí lze vyslovit tak, že

Vázaná mechanická soustava může být v rovnováze jen tehdy, když se práce explicitních sil rovná nule pro všechny virtuální posunutí.

Pokud je vázaná soustava v klidu, pak jsou všechna zrychlení nulová a z pohybových rovnic plyne

$\mathbf{F}_i + \mathbf{R}_i = 0$

pro $i = 1,2,..., n$ , kde $i$ označuje jednotlivé hmotné body soustavy.

Za rovnováhy jsou tedy vazbové síly v rovnováze s explicitními silami a z principu virtuální práce plyne

$\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i = 0$

Tato rovnice vyjadřuje princip virtuálních posunutí.

Z tohoto principu plynou např. podmínky rovnováhy na páce, na kladkostroji apod. Tento princip má tedy význam především v teorii jednoduchých strojů.

Z principu virtuálních posunutí je možné pro konzervativní soustavy odvodit tzv. Dirichletovu větu, která říka, že

Soustava může být v rovnováze jen v takové poloze, při níž je její potenciální energie stacionární.

V konzervativní soustavě platí vztahy

$\mathbf{F}_i = -\frac{\part E_p}{\part \mathbf{r}_i}$

pro $i$ -tý hmotný bod soustavy, kde $E p$ označuje celkovou potenciální energii soustavy, která je obecně funkcí souřadnic všech hmotných bodů. Z principu virtuálních posunutí pak vyplývá

$\sum_{i=1}^n \frac{\part E_p}{\part \mathbf{r}_i}\cdot\delta\mathbf{r}_i = \delta E_p = 0$ ,

kde $δ E p$ označuje variaci potenciální energie. Virtuální změna polohy tedy nemění potenciální energii. Říká se, že $E p$ je v této poloze stacionární. To umožňuje určit typ rovnovážného stavu, v němž se soustava nachází. Dosahuje-li totiž $E p$ minima, je soustava ve stabilní poloze, dosahuje-li maxima, je soustava v poloze labilní. Ve zbývajících případech se jedná o soustavy v indiferentní poloha.

[editovat] d'Alembertův princip

Podrobnější informace naleznete v článku d'Alembertův princip.

Tento pricip lze vyjádřit tak, že

Při pohybu mechanické soustavy jsou setrvačné síly v rovnováze s explicitními silami.

Vychází se přitom ze vztahu

$\mathbf{F}_i + \mathbf{R}_i = m_i\ddot{\mathbf{r}}_i$ ,

kde $\mathbf{F}_i$ jsou vtištěné síly a $\mathbf{R}_i$ jsou síly vazbové. Vyjádřením vazbových sil a použitím principu virtuální práce lze pak vyjádřit d'Alembertův princip ve tvaru

$\sum_{i=1}^n \left(\mathbf{F}_i - m_i\ddot{\mathbf{r}}_i \right)\cdot\delta\mathbf{r}_i = 0$

[editovat] Související články

Tento fyzikální článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Virtuální práce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

[editovat] Matematická formulace

[editovat] Princip virtuální práce

[editovat] Princip virtuálních posunutí

[editovat] d'Alembertův princip

[editovat] Související články

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledání

Navigace

Nástroje

V jiných jazycích