Viètovy vzorce

Viètovy vzorce, pojmenované po François Viètovi, jsou obecným návodem, který umožňuje hledání kořenů polynomů.

Obecný zápis

Každý polynom n-tého stupně (pro n≥1) $p(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \,$ s koeficienty $a_n, a_{n-1}, \cdots ,a_1,a_0$ náležejícími $\mathbb{R}$ či $\mathbb{C}$, kde a_n≠ 0, má dle základní věty algebry nejvýše n komplexních kořenů x₁, x₂, ..., x_n. Viètovy vzorce potom předepisují n rovnic, které vedou k řešení n kořenů:

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}$

Příklad

Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání diskriminantu, pro příklad však uveďme také řešení pomocí Viètových vzorců.

Mějme polynom: $p(x)=ax^2 + bx + c$, s kořeny $x_{1}, x_{2}$, kde $p(x)=0$. Potom můžeme psát:

$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Pro polynom třetího stupně tedy můžeme analogicky psát.

Mějme polynom: $q(x)=ax^3+bx^2 + cx + d$, s kořeny $x_{1}, x_{2},x_{3}$, kde $q(x)=0$. Potom:

$x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Viète's formulas na anglické Wikipedii.