Viètovy vzorce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Viètovy vzorce, pojmenované po François Viètovi, jsou obecným návodem, který umožňuje hledání kořenů polynomů.

Obecný zápis[editovat | editovat zdroj]

Každý polynom n-tého stupně (pro n≥1) p(x)=a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, s koeficienty a_n, a_{n-1}, \cdots ,a_1,a_0 náležejícími  \mathbb{R} či  \mathbb{C} , kde an≠ 0, má dle základní věty algebry nejvýše n komplexních kořenů x1x2, ..., xn. Viètovy vzorce potom předepisují n rovnic, které vedou k řešení n kořenů:

\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ 
(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
{} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání diskriminantu, pro příklad však uveďme také řešení pomocí Viètových vzorců.

Mějme polynom: p(x)=ax^2 + bx + c, s kořeny x_{1}, x_{2}, kde p(x)=0. Potom můžeme psát:
 x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Pro polynom třetího stupně tedy můžeme analogicky psát.

Mějme polynom: q(x)=ax^3+bx^2 + cx + d, s kořeny x_{1}, x_{2},x_{3}, kde q(x)=0. Potom:
 x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Viète's formulas na anglické Wikipedii.