Usměrňování zlomku

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Usměrňování zlomku je matematický postup, jehož cílem je odstranění odmocniny nebo odmocnin ze jmenovatele zlomku při zachování jeho hodnoty.

Princip usměrnění[editovat | editovat zdroj]

Usměrnění se provádí rozšířením zlomku o vhodný výraz, takže díky pronásobení jmenovatele odmocnina „zmizí“. Vychází z faktu, že

\frac{A}{B} = \frac{A}{B} \cdot \frac{X}{X} = \frac{A \cdot X}{B \cdot X} \,\!

U jednoduchých případů (jako jsou ty, které jsou uvedeny níže v tomto článku) je provedení obvykle snadné. U složitějších nemusí být na první pohled patrné, zda lze usměrnění vůbec provést a jak při něm postupovat - umění spočívá v tom, určit si ve vzorci to správné  X \,\! a to často i opakovaně.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Příklad první[editovat | editovat zdroj]

Je třeba usměrnit zlomek \frac{1}{\sqrt{2}}

Řešení:

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \,\!

Příklad druhý[editovat | editovat zdroj]

Je třeba usměrnit zlomek \frac{5}{1 + \sqrt{5}}

Při řešení vyjdeme ze vzorce  (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \,\!  :

\frac{5}{1 + \sqrt{5}} = \frac{5}{1 + \sqrt{5}} \cdot \frac {1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} = \frac {5 \cdot (1 - \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5}) \cdot (1 - \sqrt{5})} = \frac {5 \cdot (1 - \sqrt{5})}{1 - 5} = \frac {5}{4} \cdot (\sqrt{5} - 1)

Příklad třetí[editovat | editovat zdroj]

Princip usměrnění je samozřejmě možné použít i v algebraických výrazech obsahujících proměnné nebo parametry, jak je vidět v tomto příkladu.

Je třeba usměrnit zlomek \frac{x}{\pi(\sqrt{r} - \sqrt{x})}

Řešení bude podobné, jako v předchozím případě:

\frac{x}{\pi(\sqrt{r} - \sqrt{x})} = \frac{x}{\pi(\sqrt{r} - \sqrt{x})} \cdot \frac {\sqrt{r} + \sqrt{x}}{\sqrt{r} + \sqrt{x}} = \frac {x \cdot (\sqrt{r} + \sqrt{x})}{\pi \cdot (r - x)}

U tohoto typu úloh je třeba si uvědomit, že rozšíření zlomku může přinést dodatečné podmínky pro proveditelnost - například zde nesmí být  \sqrt{r} + \sqrt{x} = 0 \,\! . To samozřejmě není problém, dokud se pohybujeme v oboru reálných čísel, v oboru komplexních čísel se tím ale může situace poněkud zkomplikovat.