Ultrafiltr

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Ultrafiltr je matematický pojem z oboru teorie množin.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Je-li  X \,\! množina a  \mathbb{P}(X) \,\! její potenční množina (tj. množina všech jejích podmnožin), pak řekneme, že neprázdná množina  F \subseteq \mathbb{P}(X) \,\! je ultrafiltr, pokud platí:

  1.  F \,\! neobsahuje prázdnou množinu
  2.  A,B \isin F \implies A \cap B \isin F \,\!
  3.  (A \isin F \and A \subseteq B) \implies B \isin F \,\!
  4.  ( \forall A \isin \mathbb{P}(X)) (A \isin F \vee X - A \isin F) \,\!

Vysvětlení definice[editovat | editovat zdroj]

Podle bodu 2 je ultrafiltr dolů usměrněná množina, podle bodu 3 je to horní množina - jedná se tedy o filtr v potenční algebře.
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o vlastní filtr - ultrafiltr tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina  \mathbb{P}(X) \,\!

Podle bodu 4 je v ultrafiltru obsažena podmnožina  A \subseteq X \,\! nebo její doplněk  (X - A) \subseteq X \,\! . Pokud by pro některou množinu  A \subseteq X \,\! obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i  A \cap (X - A) = \emptyset \,\! , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.
Tato vlastnost tedy zaručuje, že ultrafiltr je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu maximální - jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.

Zjednodušeně řečeno, „seká“ ultrafiltr celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina - její doplněk vybírá přesně jednu možnost.

Příklady a vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Triviální ultrafiltr[editovat | editovat zdroj]

Za hlavní filtr považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny  A \subseteq X \,\! , hlavní filtr určený množinou  A \,\! tedy lze zapsat jako
 F(A) = \{ B \subseteq X : A \subseteq B \} \,\!
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry - jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou  A = \{a \} \,\! , kde  a \isin X \,\! . Tyto ultrafiltry jsou nazývány triviální ultrafiltry.

Na konečné množině je každý ultrafiltr triviální - celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny  X \,\! .
Na nekonečné množině odpovídá počet triviálních ultrafiltrů mohutnosti množiny  X \,\! .

Uniformní ultrafiltr[editovat | editovat zdroj]

Ultrafiltr \mathcal{U} na množině X se nazývá uniformní, má-li každá množina A \in \mathcal{U} mohutnost rovnou mohutnosti množiny X. Zřejmě každý uniformní ultrafiltr je netriviální.

Základní věta o ultrafiltrech[editovat | editovat zdroj]

Nabízí se otázka, zda na nekonečné množině existují nějaké netriviální ultrafiltry. Kladnou odpověď dává základní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.

Protože filtr je speciálním případem centrovaného systému, lze podle této věty každý filtr rozšířit (přidáním nějakých dalších podmnožin) na ultrafiltr. Vezmeme-li v úvahu například Fréchetův filtr a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální.

Důkaz této věty podstatným způsobem používá princip maximality - větu nelze dokázat, bez přijetí axiomu výběru nebo nějaké jeho obdoby.

Dualita s prvoideálem[editovat | editovat zdroj]

Stejně jako u většiny pojmů z teorie uspořádání, má i ultrafiltr svůj duální pojem - prvoideál. Ke každému ultrafiltru  F \,\! existuje duální prvoideál - množina všech doplňků z  F \,\! :
 F^* = \{ X - A : A \isin F \} \,\!

Vztah platí i opačně - množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr - duální ultrafiltr. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí
 (F^*)^* = F \,\!

Související články[editovat | editovat zdroj]