Tupperův vzorec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Tupperův vzorec je nerovnost definovaná Jeffem Tupperem. Množina bodů, které splňují nerovnost, vykreslená v rovině (resp. v konkrétním intervalu roviny) tvoří text obsahující nerovnost samu.

Vzorec[editovat | editovat zdroj]

Vzorec byl poprvé publikován v příspěvku na konferenci SIGGRAPH (Special Interest Group on GRAPHics and Interactive Techniques) 2001, který se zabýval softwarem GrafEq pro vizualizaci matematických funkcí, nerovností, atp.

Tupperův vzorec je nerovnost:

{1\over 2} < \left\lfloor \mathrm{mod}\left(\left\lfloor {y \over 17} \right\rfloor 2^{-17 \lfloor x \rfloor - \mathrm{mod}(\lfloor y\rfloor, 17)},2\right)\right\rfloor

kde \lfloor \cdot \rfloor značí celou část čísla a mod značí zbytek po dělení.

Uvažujme interval roviny (x,y) \in \langle 0,106) \times \langle k,k + 17), kde konstanta k je rovna pětisetčtyřiačtyřicetimístnému číslu:

48584506361897134235820959624942020445814005879832445494830930850619
34704708809928450644769865524364849997247024915119110411605739177407
85691975432657185544205721044573588368182982375413963433822519945219
16512843483329051311931999535024137587652392648746133949068701305622
95813219481113685339535565290850023875092856892694555974281546386510
73004910672305893358605254409666435126534936364395712556569593681518
43348576052669401612512669514215505395545191537854575257565907405401
57929001765967965480064427829131488548259914721248506352686630476300 

Množina bodů splňující Tupperovu nerovnost je na následujícím obrázku znázorněna černou barvou:

Tupper's self referential formula plot.png

(Svislá osa je, pro jednoduchost, popsaná hodnotami y-k, nikoliv přímo hodnotami y.)

Vysvětlení[editovat | editovat zdroj]

Bližším ohledáním vzorce snadno zjistíme, že exponent - 17 \lfloor x \rfloor - \mathrm{mod}(\lfloor y\rfloor, 17) nabývá pouze celočíselných hodnot 0,-1,-2,\ldots,-17 \cdot 106+1. Každé z těchto hodnot přitom nabývá pouze v jediném podintervalu. Hodnoty 0 nabývá exponent v levém spodním rohu obrázku, hodnoty 1 v intervalu bezprostředně nad ním, a tak dále. Tedy, pixely v prvním sloupci obrázku odpovídají hodnotám exponentu 0,\ldots,-16. Nejmenší hodnoty -1801 = -17 \cdot 106+1 exponent nabývá v pravém horním rohu obrázku.

Snadno ověříme, že číslo k je dělitelné číslem 17 bezezbytku, tedy

\left\lfloor {y \over 17} \right\rfloor = {k \over 17}

pro všechna y\in\langle k,k+17). Pravá strana nerovnosti tak v principu převádí číslo k/17 do dvojkové soustavy, je tedy pro každou konkrétní dvojici (x,y) rovna buď 0 nebo 1.

Je zřejmé, že libovolný černobílý obrázek šířky w a výšky h pixelů, jde stejným způsobem zapsat jako binární číslo (po sloupcích; levý spodní pixel bude stát na pozici jednotek ve dvojkovém zápisu). Po převodu do desítkové soustavy a vynásobení číslem h bude představovat konstantu k. Tupperův vzorec (s číslem 17 zaměněným za číslo h a pozměněnými intervaly pro x a y) pak z konstanty k dekóduje původní obrázek.

Konkrétních příkladů jako je Tupperův vzorec tedy lze zkonstruovat libovolně mnoho.

Tupperův vzorec je často uváděn jako příklad autoreference, kterým ale v pravém slova smyslu není. Nejpodstatnější část vzorce zajišťující, že grafem nerovnosti je předpis nerovnosti samotné, je informace zakódovaná v konstantě k, která ovšem není předmětem autoreferenčního vztahu.

Reference[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]