Torus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Torus v trojrozměrném prostoru.

Torus (též anuloid) je rotační plocha, která vznikne otáčením kružnice kolem osy, která leží ve stejné rovině a nemá s ní společné body.

Má tvar například vzdušnice obruče nebo koblihy donut.

Rovnice[editovat | editovat zdroj]

Parametricky lze torus středově souměrný podle počátku a osově podle osy z v kartézských souřadnicích vyjádřit:

x(u, v) =  (R + r\cos{v}) \cos{u} \,
y(u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \,
z(u, v) = r \sin{v} \,

kde

u, v ∈ [0, 2π),
R je vzdálenost středu „trubice“ ke středu toru,
r je poloměr „trubice“.

Obecná rovnice (téhož) toru je (z Pythagorovy věty):

\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2,

neboli

(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0..

Torus je tedy algebraická plocha 4. stupně, neboli kvartická plocha.

Stereografická projekce Cliffordova torusu ve čtyřech rozměrech znázorněná jako jednoduchá rotace plochou xz

n-rozměrný torus[editovat | editovat zdroj]

Torus lze zobecnit ve více rozměrech jako n-rozměrný torus (n-torus nebo hypertorus). Zatímco torus je prostorový útvar dvou kružnic, je n-rozměrný torus produktem n kružnic.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Z Guldinových vět snadno dostáváme:

Povrch toru je určený jako

S = 4\pi^2 Rr = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,

Objem toru je určen vztahem

V = 2\pi^2R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,
Průběh everze toru

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Zobecněný torus - toroid

V obecnějším případě lze torus definovat i jako elipsu či jinou kuželosečku rotovanou kolem komplanární osy.

Torus je zvláštním případem toroidu, kde místo kružnice může být obecná uzavřená křivka.

Související články[editovat | editovat zdroj]