Torus

Torus v trojrozměrném prostoru.

Torus (též anuloid) je rotační plocha, která vznikne otáčením kružnice kolem osy, která leží ve stejné rovině a nemá s ní společné body.

Má tvar například vzdušnice obruče nebo koblihy donut.

Rovnice

Parametricky lze torus středově souměrný podle počátku a osově podle osy z v kartézských souřadnicích vyjádřit:

$x(u, v) = (R + r\cos{v}) \cos{u} \,$

$y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \,$

$z(u, v) = r \sin{v} \,$

kde

u, v ∈ [0, 2π),

R je vzdálenost středu „trubice“ ke středu toru,

r je poloměr „trubice“.

Obecná rovnice (téhož) toru je (z Pythagorovy věty):

$\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2$,

neboli

$(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0.$.

Torus je tedy algebraická plocha 4. stupně, neboli kvartická plocha.

Vlastnosti

Z Guldinových vět snadno dostáváme:

Povrch toru je určený jako

$S = 4\pi^2 Rr = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,$

Objem toru je určen vztahem

$V = 2\pi^2R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,$

Průběh everze toru

Zobecnění

Zobecněný torus - toroid

V obecnějším případě lze torus definovat i jako elipsu či jinou kuželosečku rotovanou kolem komplanární osy.

Torus je zvláštním případem toroidu, kde místo kružnice může být obecná uzavřená křivka.

Související články

• Geometrický útvar
• Kružnice
• Toroid