Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Tetrace je matematická operace , která je jakýmsi rozšířením umocňování . Zatímco násobení je vlastně opakované sčítání a umocňování opakované násobení, tetrace je opakované umocňování.
Označování Tetrace se může zapsat dvěma způsoby, kterými jsou horní index vlevo, např. 3 2 = 222 , nebo Knuthův zápis operátoru „dvou šipek“ ↑↑ . Obecně se tetrace zapisuje takto
a
↑↑
b
=
b
a
=
a
a
.
.
.
a
⏟
b
opakování
a
=
a
↑
(
a
↑
(
⋯
↑
a
)
)
⏟
b
opakování
a
.
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b={\ ^{b}a}=\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} _{b{\text{ opakování }}a}=\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} _{b{\text{ opakování }}a}.}
Příklady Hodnota tetrace je „velmi rychle rostoucí“:
4
↑↑
3
=
3
4
=
4
4
4
⏟
3
opakování
4
=
4
↑
(
4
↑
4
)
⏟
3
opakování
4
=
4
256
≈
1
,
3
×
10
154
{\displaystyle 4\uparrow \uparrow 3={\ ^{3}4}=\underbrace {4^{4^{4}}} _{3{\text{ opakování }}4}=\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} _{3{\text{ opakování }}4}=4^{256}\approx 1,3\times 10^{154}}
3
↑↑
2
=
3
3
=
27
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7625597484987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987}
3
↑↑
4
=
3
3
3
3
=
3
7625597484987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}}
3
↑↑
5
=
3
3
3
3
3
=
3
3
7625597484987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}}
Rozšíření Podobně jako z umocňování vzniká tetrace, vzniká také z tetrace pentace :
a
↑↑↑
b
=
a
⋅
⋅
⋅
a
a
⏟
b
opakování
a
=
a
↑↑
(
a
↑↑
(
…
↑↑
a
)
)
⏟
b
opakování
a
.
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{b{\text{ opakování }}a}=\underbrace {a\,\uparrow \uparrow \,(a\,\uparrow \uparrow \,(\dots \,\uparrow \uparrow \,a))} _{b{\text{ opakování }}a}.}
Příklady:
3
↑↑↑
2
=
3
↑↑
3
=
3
3
=
=
3
↑
(
3
↑
3
)
=
3
3
3
=
3
27
=
7625597484987
{\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow \uparrow 2&=3\uparrow \uparrow 3={}^{3}3=\\&=3\uparrow (3\uparrow 3)=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987\\\end{aligned}}}
Velikost čísel opravdu velmi rychle roste
3
↑↑↑
3
=
3
↑↑
(
3
↑↑
3
)
=
3
3
3
=
7
,
625
,
597
,
484
,
987
3
=
=
3
↑↑
(
3
↑
(
3
↑
3
)
)
=
3
↑
(
3
↑
(
⋯
↑
3
)
)
⏟
3
↑
(
3
↑
3
)
=
7
,
625
,
597
,
484
,
987
opakování
3
=
3
3
⋅
⋅
⋅
3
⏟
3
↑
(
3
↑
3
)
opakování
3
≈
exp
10
7
,
625
,
597
,
484
,
986
(
1.09902
)
{\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow \uparrow 3&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)={}^{{}^{3}3}3={}^{7,625,597,484,987}3=\\&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow (3\uparrow 3))=\underbrace {3\uparrow (3\uparrow (\dots \uparrow 3))} _{3\uparrow (3\uparrow 3)=7,625,597,484,987{\text{ opakování }}3}=\underbrace {3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}} _{3\uparrow (3\uparrow 3){\text{ opakování }}3}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)\end{aligned}}}
Následující číslo by mělo v klasickém zápisu více než 10102184 číslic:
5
↑↑↑
2
=
5
↑↑
5
=
5
5
=
5
5
5
5
5
=
5
5
5
3125
≈
10
10
10
10
3.33928
=
exp
10
4
(
3.33928
)
{\displaystyle 5\uparrow \uparrow \uparrow 2=5\uparrow \uparrow 5={^{5}5}=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx 10^{10^{10^{10^{3.33928}}}}=\exp _{10}^{4}(3.33928)}
