Tetrace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Tetrace je matematická operace, která je jakýmsi rozšířením umocňování. Zatímco násobení je vlastně opakované sčítání a umocňování opakované násobení, tetrace je opakované umocňování.

Označování[editovat | editovat zdroj]

Tetrace se může zapsat dvěma způsoby, kterými jsou horní index vlevo, např. 32 = 222, nebo Knuthův zápis pomocí operátoru „dvou šipek“ ↑↑. Obecně se tetrace zapisuje takto


  a\uparrow\uparrow b = {\ ^{b}a} = \underbrace{a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}}_{b\text{ opakování }a}
  = \underbrace{a\uparrow (a\uparrow(\dots\uparrow a))}_{b\text{ opakování }a}.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Hodnota tetrace je „velmi rychle rostoucí“:


  4\uparrow\uparrow 3 = {\ ^{3}4} = \underbrace{4^{4^4}}_{3\text{ opakování }4} 
  = \underbrace{4\uparrow (4\uparrow 4)}_{3\text{ opakování }4} 
  = 4^{256} \approx 1,3\times 10^{154}
3\uparrow\uparrow2=3^3=27
3\uparrow\uparrow3=3^{3^3}=3^{27}=7 625 597 484 987
3\uparrow\uparrow4=3^{3^{3^3}}=3^{7 625 597 484 987}
3\uparrow\uparrow5=3^{3^{3^{3^3}}} = 3^{3^{7 625 597 484 987}}

Rozšíření[editovat | editovat zdroj]

Podobně, jako z umocňování vzniká tetrace, vzniká také z tetrace pentace:


  a\uparrow\uparrow\uparrow b = 
  \underbrace{{}^{ {}^{ {}^{ {}^{ {}^a \cdot} \cdot} \cdot} a} a}_{b\text{ opakování }a} =
  \underbrace{a\,\uparrow\uparrow\,(a\,\uparrow\uparrow\,(\dots\,\uparrow\uparrow\,a))}_{b\text{ opakování }a}.

Příklady:


  \begin{align}
  3\uparrow\uparrow\uparrow2 &= 3\uparrow\uparrow3 = {}^33 = \\
  & = 3\uparrow(3\uparrow3) = 3^{3^3} = 3^{27}=7,625,597,484,987 \\
  \end{align}

Velikost čísel opravdu velmi rychle roste


  \begin{align}
  3\uparrow\uparrow\uparrow3 &= 3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3) = {}^{ {}^3 3} 3 = {}^{7,625,597,484,987}3 = \\
  & = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow(3\uparrow3)) = 
  \underbrace{3\uparrow(3\uparrow(\dots\uparrow 3))}_{3\uparrow(3\uparrow3)=7,625,597,484,987\text{ opakování }3}
  = \underbrace{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}_{3\uparrow(3\uparrow3)\text{ opakování }3} 
  \approx \exp_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)
  \end{align}

Následující číslo by mělo v klasickém zápisu více než 10102184 číslic:

5 \uparrow\uparrow\uparrow2 = 5\uparrow\uparrow5 = {^{5}5} = 5^{5^{5^{5^5}}} = 5^{5^{5^{3125}}} \approx \exp_{10}^4(3.33928).