Teorie grup

Teorie grup je matematická disciplína zabývající se studiem grup. Jde o podobor algebry. Má mnoho aplikací v celé matematice i v dalších oborech – fyzice, informatice či chemii.

Historie

Počátky teorie grup sahají do posledních let 18. a počátku 19. století, kdy se začala vyvíjet jako důsledek rozvoje teorie algebraických rovnic, teorie čísel a geometrie. Prvními matematiky, kteří se zabývali touto oblastí byli Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel a Évariste Galois.

Moderní definici grupy podal roku 1882 Walther von Dyck.

Tato část článku je příliš stručná nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že ji vhodně rozšíříte.

Grupa

Grupa je základním pojmem teorie grup. Je definována jako množina $\mathbb {G}$ spolu s binární operací $\cdot$ splňující tři grupové axiomy:

Asociativita:	$f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h$
Existence neutrálního prvku:	$(\exists e)(\forall g)\quad g\cdot e=e\cdot g=g$
Existence inverzních prvků:	$(\forall g)(\exists h)\quad g\cdot h=h\cdot g=e$

Důležité věty teorie grup

Lagrangeova věta: Je-li G konečná grupa a H její podgrupa, pak řád H dělí řád G.
Cayleyho věta: Každá grupa G je izomorfní podgrupě grupy permutací na G (symetrické grupě).
Sylowovy věty: Popisují existenci a vlastnosti p-podgrup konečné grupy.
Věta o homomorfismu: Dává do souvislosti dvě grupy, mezi nimiž je homomorfismus, s jeho jádrem a obrazem.
Jordan-Hölderova věta: Každé dvě kompoziční řady dané grupy jsou izomorfní.
Krull-Schmidtova věta: Stanovuje podmínky pro to, aby grupa G byla konečným součinem svých nerozložitelných podgrup.
Burnsidovo lemma: Počet orbit akce grupy na množinu se rovná průměrnému počtu bodů fixovaných jednotlivými prvky grupy.
Klasifikace konečně generovaných abelovských grup: Každá konečně generovaná abelovská grupa je jednoznačně vyjádřitelná jako direktní suma cyklických grup řádu nekonečného nebo mocniny prvočísla.
Klasifikace konečných jednoduchých grup: Jeden z vrcholných výsledků matematiky 20. století.

Odkazy

Související články

Literatura

DRÁPAL, Aleš. Teorie grup – základní aspekty. Praha: Karolinum, 2000. ISBN 80-246-0162-1.