Tenzorová hustota

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako r-krát kovariantní a s-krát kontravariantní tenzorová hustota váhy v se v matematice označuje veličina $H_{i_1 \cdots i_r}^{k_1 \cdots k_s}$ , která se při transformaci souřadnic transformuje jako

${H^\prime}_{p_1 \cdots p_r}^{q_1 \cdots q_s} = (D^\prime)^{-v} \frac{\part x^{i_1}}{\part {x^\prime}^{p_1}} \cdots \frac{\part x^{i_r}}{\part {x^\prime}^{p_r}} \frac{\part {x^\prime}^{q_1}}{\part x^{k_1}} \cdots \frac{\part {x^\prime}^{q_s}}{\part x^{k_s}} H_{i_1 \cdots i_r}^{k_1 \cdots k_s}$ ,

kde $D^\prime$ je jakobián

$D^\prime = \varepsilon^{m_1 \cdots m_n} \frac{\part {x^\prime}^1}{\part x^{m_1}} \cdots \frac{\part {x^\prime}^n}{\part x^{m_n}}$ ,

kde $\varepsilon^{m_1 \cdots m_n}$ je permutační symbol. Platí přitom $D = {(D^\prime)}^{-1}$ .

[editovat] Příklad

Permutační symbol $\varepsilon^{m_1 \cdots m_n}$ je n-krát kontravariantní tenzorová hustota váhy 1. Permutační symbol $\varepsilon_{m_1 \cdots m_n}$ je n-krát kovariantní tenzorová hustota váhy -1.

Determinant kovariantního tenzoru $T i k$ je skalární hustota váhy 2, neboť

$T^\prime = \det(T_{ik}^\prime) = \det(T_{st} \frac{\part x^s}{\part {x^\prime}^i} \frac{\part x^t}{\part {x^\prime}^k}) = \det(T_{st}) \det(\frac{\part x^s}{\part {x^\prime}^i}) \det(\frac{\part x^t}{\part {x^\prime}^k}) = \det(T_{st}) D^2 = T {(D^\prime)}^{-2}$