Symplektický vektorový prostor

Symplektický vektorový prostor je pojem z matematiky, přesněji z lineární algebry.

Symplektický vektorový prostor formalizuje některé vlastnosti Hamiltonovy mechaniky a je analogický prostorům se skalárním součinem.

Definice

Dvojici $(V,\omega )$ nazveme symplektický vektorový prostor, pokud $V$ je vektorový prostor a $\omega$ je bilineární antisymetrická nedegenerovaná forma.

Pokud $V$ je konečné dimenze, je slovo nedegenerovanost jednoznačné. Pokud je $V$ nekonečné dimenze, označuje v literatuře slovo nedegenerovanost převážně následující dva pojmy. Bilineární formu $\omega :V\times V\to \mathbb {R}$ nazveme nedegenerovanou, pokud $o:V\to V^{*}$ definované předpisem $o(v)w:=\omega (v,w)$ je izomorfizmus vektorových prostorů. Druhé pojetí definuje $\omega$ nedegenerovanou, pokud $\omega (v,w)=0$ pro každé $w\in V$, pak je $v=0$

(Většinou z hlediska aplikací rozdílnost těchto dvou pojmů není podstatná.)

Tvrzeni

Pokud je symplektický vektorový prostor konečné dimenze, potom dimenze V je sudá.

Symplektická báze

Nechť $V$ je konečné dimenze $2n$. Bázi $\{e_{i}\}_{i=1}^{2n}$ prostoru $V$ nazveme symplektickou, pokud $\omega (e_{i},e_{j})=1,$ pokud $i=1,\ldots ,n$ a $j=n+i$; $\omega (e_{i},e_{j})=-1$, pokud $i=n+1,\ldots ,2n$ a $j=2n-i$ a pro ostatní dvojice $e_{i},e_{j}$ je $\omega (e_{i},e_{j})=0.$

(Někdy je znaménková konvence v literatuře opačná k té zvolené zde.)

Lineární Darbouxova věta

Tato věta je paralelní k větě o setrvačnosti kvadratických forem a je speciální formou (důsledkem) Darbouxovy věty pro hladké variety.

Tvrzení: Pro každý symplektický vektorový prostor existuje jeho symplektická báze.

Symplektická grupa

Grupou symetrie symplektického vektorové prostoru je tzv. symplektická grupa, která je označována $Sp(V,\omega ).$ Přesněji definujeme $Sp(V,\omega ):=\{g\in Aut(V);\omega (gv,gw)=\omega (v,w)\forall v,w\in V\}.$

Tvrzení: Symplektická grupa je Lieova grupa, pokud $V$ je reálný nebo komplexní vektorový prostor.

Související pojmy

• Symplektická varieta
• Hamiltonova mechanika: Fázový prostor spolu s formou $dp_{i}dq^{i}$ je symplektický vektorový prostor.

Literatura

• Arnold, V., Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997.
• Marsden, J., Ratiu, T. S., Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag, Texts in applied Mathematiocs, 1992.
• Thirring, W., Lehrbuch der mathematischen Physik: Klassische dynamische Systeme, Springer Verlag Wien - New York.