Styk křivek

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako styk (dotyk) dvou křivek se označuje množina bodů prostoru, které náleží oběma křivkám. Jedná se tedy o množinu bodů, které získáme jako průnik množin bodů jednotlivých křivek.

[editovat] Styk q-tého řádu

Uvažujme dvě křivky $k 1, k 2$ o rovnicích

$\mathbf{u} = \mathbf{u}(s)$

$\mathbf{v} = \mathbf{v}(s)$

kde $\mathbf{u}$ je rádiusvektor bodů křivky $k 1$ a $\mathbf{v}$ je rádius vektor bodů křivky $k 2$ . Parametr $s$ je obloukem na obou křivkách.

Nechť tyto dvě křivky mají společný bod $s = 0$ , tzn. $\mathbf{u}_0 = \mathbf{v}_0$ . Společný parametr $s$ pak můžeme počítat od tohoto průsečíku obou křivek, přičemž předpokládáme, že tečné vektory obou křivek svírají v tomto bodě nejvýše pravý úhel.

Křivky $k 1$ a $k 2$ mají ve společném bodě $\mathbf{u}_0=\mathbf{v}_0$ styk (dotyk) nejméně ( $q + 1$ )-bodový ( $q$ -tého řádu), pokud platí

$\lim_{s\to 0}\frac{\mathbf{d}(s)}{s^p} = 0$

pro $p = 0,1,2,..., q$ a $\mathbf{d}(s) = \mathbf{u}(s)-\mathbf{v}(s)$ .

Nutnou a postačující podmínkou styku křivek nejméně $q$ -tého řádu je splnění rovnic

$\mathbf{u}_0 = \mathbf{v}_0$

$\mathbf{u}_0^\prime = \mathbf{v}_0^\prime$

$\mathbf{u}_0^{\prime\prime} = \mathbf{v}_0^{\prime\prime}$

…

$\mathbf{u}_0^{(q)} = \mathbf{v}_0^{(q)}$

Předpokládá se přitom existence potřebného počtu derivací.

[editovat] Důsledek

Styk nultého řádu tedy podle předchozích vztahů znamená, že křivky mají v bodě styku (tedy $\mathbf{u}_0 = \mathbf{v}_0$ ) různé tečny, tzn. $\mathbf{u}_0^\prime\neq\mathbf{v}_0^\prime$ . Křivky se tedy v bodě styku protínají.

V bodě styku nejméně prvního řádu mají křivky ve společném bodě také společnou tečnu.

V bodě styku (nejméně) druhého řádu mají ve společném bodě křivky společnou tečnu, hlavní normálu a první křivost. V tomto bodě mají tedy obě křivky společnou také oskulační rovinu.