Stopa (algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Součet prvků na hlavní diagonále čtvercové matice je v matematice označován jako stopa matice, tento součet není závislý na bázi,ve které je matice vyjádřena, představuje tedy invariant. Stopa matice $\mathbf{A}$ se značí $\mathrm{Tr}\mathbf{A}$ nebo $\mathrm{Sp}\mathbf{A}$ , tzn.

$\mathrm{Tr}\mathbf{A} = \mathrm{Sp}\mathbf{A} = \sum_{i=1}^n a_{ii}$

[editovat] Vlastnosti

Pro matice stejného typu platí

$\mathrm{Tr}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \mathrm{Tr}\mathbf{A} + \mathrm{Tr} \mathbf{B}$

Při vynásobení matice číslem k dostaneme

$\mathrm{Tr}(k \mathbf{A}) = k \mathrm{Tr}\mathbf{A}$

Pro stopu součinu dvou matic platí

$\mathrm{Tr}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathrm{Tr}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A})$

Z předchozí vlastnosti plyne pro součin tří matic výraz

$\mathrm{Tr}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) = \mathrm{Tr}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C} \cdot \mathbf{A}) = \mathrm{Tr}(\mathbf{C} \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$