Stavový popis systému

Stavový popis systému se používá pro systémy s více vstupy a výstupy, tzv. MIMO systémy. Používá se maticový zápis.

Pojmy

• Stav systému - Je to nejmenší počet stavových proměnných, určuje ho stavový vektor
• Stavový vektor - Jde o sloupcový vektor často značený $\mathbf{x}(t)$, jehož složky tvoří stavové proměnné
• Stavové proměnné - Jde o časové funkce, které určují stav dynamického systému
• Stavový prostor - $n$-rozměrný prostor reálných čísel $\mathcal{R}^n$
• Vektor vstupů - Jde o sloupcový vektor $\mathbf{u}(t)$
• Vektor výstupů - Jde o sloupcový vektor $\mathbf{y}(t)$
• Stavové rovnice - Určují vazbu mezi stavem a vstupy a výstupy systému. Jsou dvě, zde popsané jsou lineární, časově invariantní.
• Stavová trajektorie - Stav je vektor, jehož poloha se mění a na konci vytváří křivku

První stavová rovnice

Umožňuje vazbu derivace stavové proměnné na libovolný vstup nebo výstup. Rovnice je

$\frac{d \mathbf{x}(t)}{dt} = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{Bu}(t)$

Druhá stavová rovnice

Určuje vztah mezi vektorem výstupu a vektorem vstupu a vektorem stavu

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{Cx}(t) + \mathbf{Du}(t)$

Koeficienty rovnic

Obecné stavové schéma systému

$\mathbf{A}$ - matice vnitřních vazeb systému

$\mathbf{B}$ - matice vazeb systému na vstup

$\mathbf{C}$ - matice vazeb výstupu na stav

$\mathbf{D}$ - matice vazeb vstupu na výstup. Z hlediska dynamických vlastností je vliv zanedbatelný a považuje se často za nulový.

Určení matice přenosových funkcí ze stavového popisu

Jde o jednoznačný převod, v podstatě se jedná o řešení obou stavových rovnic po provedení Laplaceovy transformace. Matice $\mathbf{A}$,$\mathbf{B}$,$\mathbf{C}$,$\mathbf{D}$ jsou známé. Matice $\mathbf{I}$ je jednotková matice. Řešením je rovnice

$\mathbf{F}(s) = \frac{\mathbf{Y}(s)}{\mathbf{U}(s)} = \mathbf{C}{(p \mathbf{I} - \mathbf{A})}^{-1} \mathbf{B} + \mathbf{D} = \mathbf{C} \frac{1}{det{(p \mathbf{I} - \mathbf{A})}} {adj{(p \mathbf{I} - \mathbf{A})}} \mathbf{B} + \mathbf{D}$

Určení stavového popisu z jednorozměrných přenosů

Převod není jednoznačný používají se tři algoritmy

• Přímé programování
• Paralelní programování
• Sériové programování

Literatura

• I.Švarc, M.Šeda, M.Vítečková. Automatické řízení
• P.Blaha, P.Vavřín. Řízení a regulace 1. Skriptum VUT