Stavový popis systému

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Stavový popis systému se používá pro systémy s více vstupy a výstupy, tzv. MIMO systémy. Používá se maticový zápis.

Pojmy[editovat | editovat zdroj]

  • Stav systému - Je to nejmenší počet stavových proměnných, určuje ho stavový vektor
  • Stavový vektor - Jde o sloupcový vektor často značený \mathbf{x}(t), jehož složky tvoří stavové proměnné
  • Stavové proměnné - Jde o časové funkce, které určují stav dynamického systému
  • Stavový prostor - n-rozměrný prostor reálných čísel \mathcal{R}^n
  • Vektor vstupů - Jde o sloupcový vektor \mathbf{u}(t)
  • Vektor výstupů - Jde o sloupcový vektor \mathbf{y}(t)
  • Stavové rovnice - Určují vazbu mezi stavem a vstupy a výstupy systému. Jsou dvě, zde popsané jsou lineární, časově invariantní.
  • Stavová trajektorie - Stav je vektor, jehož poloha se mění a na konci vytváří křivku

První stavová rovnice[editovat | editovat zdroj]

Umožňuje vazbu derivace stavové proměnné na libovolný vstup nebo výstup. Rovnice je

\frac{d \mathbf{x}(t)}{dt} = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{Bu}(t)

Druhá stavová rovnice[editovat | editovat zdroj]

Určuje vztah mezi vektorem výstupu a vektorem vstupu a vektorem stavu

\mathbf{y}(t) = \mathbf{Cx}(t) + \mathbf{Du}(t)

Koeficienty rovnic[editovat | editovat zdroj]

Obecné stavové schéma systému
\mathbf{A} - matice vnitřních vazeb systému (matice systému)
\mathbf{B} - matice vazeb systému na vstup (matice řízení)
\mathbf{C} - matice vazeb výstupu na stav
\mathbf{D} - matice vazeb vstupu na výstup. Z hlediska dynamických vlastností je vliv zanedbatelný a považuje se často za nulový.

Určení matice přenosových funkcí ze stavového popisu[editovat | editovat zdroj]

Jde o jednoznačný převod, v podstatě se jedná o řešení obou stavových rovnic po provedení Laplaceovy transformace. Matice \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D} jsou známé. Matice \mathbf{I} je jednotková matice. Řešením je rovnice

\mathbf{G}(p) = \frac{\mathbf{Y}(p)}{\mathbf{U}(p)} = \mathbf{C}{(p \mathbf{I} - \mathbf{A})}^{-1} \mathbf{B} + \mathbf{D} = \mathbf{C} \frac{1}{det{(p \mathbf{I} - \mathbf{A})}} {adj{(p \mathbf{I} - \mathbf{A})}} \mathbf{B} + \mathbf{D}

Určení stavového popisu z jednorozměrných přenosů[editovat | editovat zdroj]

Převod není jednoznačný používají se tři algoritmy

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • I.Švarc, M.Šeda, M.Vítečková. Automatické řízení
  • P.Blaha, P.Vavřín. Řízení a regulace 1. Skriptum VUT