Kruh

Kruh je rovinný geometrický útvar, omezený kružnicí. Kruh je určen svým středem S a poloměrem r: Je to množina všech bodů roviny, které mají od středu vzdálenost menší nebo rovnou poloměru.

Základní vzorce[editovat | editovat zdroj]

Pro poloměr[editovat | editovat zdroj]

Obvod o kruhu je určen vzorcem:

o=2\pi r\,,

kde π označuje číslo pí, a jeho plocha S vzorcem:

S=\pi r^{2}\,.

Pro průměr[editovat | editovat zdroj]

Pokud bychom uvažovali poloměr (rádius) r jako polovinu průměru d, tedy dosadili: $r={\frac {d}{2}}$ , tak by vzorce vypadaly následovně:

pro obvod o:

o=2{\frac {\pi d}{2}}=\pi d

a takto pro plochu S:

S=\pi \left({\frac {d}{2}}\right)^{2}=\pi {\frac {d^{2}}{2^{2}}}=\pi {\frac {d^{2}}{4}}

Odvození vzorce pro plochu pomocí integrace[editovat | editovat zdroj]

Obecný středový tvar rovnice kružnice se středem v počátku soustavy souřadné:

x^{2}+y^{2}=r^{2}

Rovnice části kružnice v I. kvadrantu:

y=+{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}

Plocha kruhu se nyní rovná čtyřnásobku plochy vymezené osami $x$ a $y$ a částí kružnice v I. kvadrantu, pomocí integrálního počtu tedy:

S=4\int _{0}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} x

Použijeme substituci, kde $x$ substituujeme za $r\sin(t)$ :

S=4\int _{0}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-r^{2}\sin ^{2}(t)}}r\cos(t)\mathrm {d} t

Upravíme:

S=4\int _{0}^{r}\,r^{2}\cos ^{2}(t)\mathrm {d} t=4r^{2}\int _{0}^{r}\,\cos ^{2}(t)\mathrm {d} t

Integrujeme:

S=4r^{2}[{\frac {t}{2}}+{\frac {\sin(2t)}{4}}]_{0}^{r}

Vypočítáme určitý integrál pro $r={\frac {\pi }{2}}$ :

S=4r^{2}({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\sin(\pi )}{4}})=\pi r^{2}

Další pojmy[editovat | editovat zdroj]

Část kruhu vymezená dvěma průvodiči je kruhová výseč, část kruhu omezená sečnou je kruhová úseč. Plocha vymezená dvěma soustřednými kružnicemi o nestejném poloměru je mezikruží.

Kvadratura kruhu[editovat | editovat zdroj]

Kvadratura kruhu je konstrukční úloha: sestrojit k danému kruhu čtverec o stejném obsahu pouze pomocí pravítka a kružítka. Tato úloha obecně nemá řešení, přibližná řešení byla ovšem známa už ve starověku.

Naproti tomu Tarského problém kvadratury kruhu je úloha rozdělit daný kruh na konečně mnoho kousků a složit z těchto kousků čtverec o stejném obsahu. S použitím axiomu výběru je tato úloha řešitelná, ovšem nikoliv prakticky. Kousky jsou neměřitelné množiny, které nelze realizovat hmotou složenou z částic. Navíc řešení, které nalezl Laczkovich, vyžaduje $10^{50}$ kousků.^[1]