Sobolevův prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Sobolevův prostor je v matematice normovaný vektorový prostor funkcí s normou, která je kombinací Lp-normy funkce a jejích derivací.

Sobolevovy prostory s celočíselnou derivací[editovat | editovat zdroj]

Definice[editovat | editovat zdroj]

Sobolevův prostor Wk,p(Ω) je množina všech funkcí uLp(Ω) tak, že pro každý multi-index α s |α| ≤ k leží slabá parciální derivace D^\alpha u v Lp(Ω), t.j.

 W^{k,p}(\Omega) = \{ u \in L^p(\Omega) : D^{\alpha}u \in L^p(\Omega) \,\, \forall |\alpha| \leq k \},

kde Ω je otevřena množina v Rn a 1 ≤ p ≤ +∞. Přirozené číslo k se nazývá řád Sobolevova prostoru Wk,p(Ω).

Existuje mnoho možností jak definovat normu prostoru Wk,p(Ω). Následující dvě definice jsou ekvivalentní (t.j. normy jsou ekvivalentní):

\| u \|_{W^{k, p}(\Omega)} := \begin{cases} \left( \sum_{| \alpha | \leq k} \| D^{\alpha}u \|_{L^{p}(\Omega)}^{p} \right)^{1/p}, & 1 \leq p < + \infty; \\ \sum_{| \alpha | \leq k} \| D^{\alpha}u \|_{L^{\infty}(\Omega)}, & p = + \infty; \end{cases}

a

\| u \|'_{W^{k, p}(\Omega)} := \begin{cases} \sum_{| \alpha | \leq k} \| D^{\alpha}u \|_{L^{p}(\Omega)}, & 1 \leq p < + \infty; \\ \sum_{| \alpha | \leq k} \| D^{\alpha}u \|_{L^{\infty}(\Omega)}, & p = + \infty. \end{cases}

S těmi normami, Wk,p(Ω) je Banachův prostor. Je-li p < +∞, Wk,p(Ω) je dokonce separabilní. Někdy Wk,2(Ω) je označován Hk(Ω), protože je Hilbertův prostor s normou  \| \cdot \|_{W^{k, 2}(\Omega)} .[1]

Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací[editovat | editovat zdroj]

Besselovy potenciální prostory[editovat | editovat zdroj]

Pokud 1 < p < ∞, Besselův prostor Hs,p(Rn) je dobře definován pro každé reálné číslo s předpisem

 H^{s,p}(\mathbb{R}^n) := \{f \in L^p(\mathbb{R}^n) : \mathcal{F}^{-1}(1+ |\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\mathcal{F}f \in L^p(\mathbb{R})^n\}

s normou

\|f\|_{H^{s,p}(\mathbb{R}^n)} := \|\mathcal{F}^{-1}(1+ |\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\mathcal{F}f \|_{L^p(\mathbb{R}^n)} .

Besselovy potenciální prostory jsou Banachovými prostory a v speciálním případě p = 2 dokonce Hilbertovými prostory. Pojem Besselova prostoru je zobecnění pojmu Sobolevova prostoru v tom smyslu, že pro přirozené k platí Hk,p(Rn)=Wk,p(Rn) s ekvivalentními normami. Navíc platí řetěz vnoření

 H^{k+1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{k, p}(\mathbb{R}^n), \quad k \leq s \leq s' \leq k+1.

Sobolev-Slobodeckého prostory[editovat | editovat zdroj]

Další způsob definovat Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací používá nápad zobecnění Hölderovy spojitostí do Lebesgueových prostorů.[2] Je-li Ω otevřená množina Rn, 1 ≤ p < ∞, θ ∈ (0,1) a fLp(Ω), pak Slobodeckého seminorma je definována předpisem

 [f]_{\theta, p, \Omega} := \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\theta p + n}} \; dx \; dy .

Je-li s > 0 neceločíselné, Sobolev-Slobodeckého prostor Ws, p(Ω) je dobře definován předpisem

 W^{s,p}(\Omega) := \{f \in W^{\lfloor s \rfloor, p}(\Omega) : \sup_{|\alpha| = \lfloor s \rfloor} [D^\alpha f]_{\theta, p, \Omega} < \infty \} ,

kde \theta = s - \lfloor s \rfloor \in (0,1). Je Banachovým prostorem s normou

 \|f \| _{W^{s, p}(\Omega)} := \|f\|_{W^{\lfloor s \rfloor,p}(\Omega)} + \sup_{|\alpha| = \lfloor s \rfloor} [D^\alpha f]_{\theta, p, \Omega} .

I v případě Sobolev-Slobodeckého prostorů platí řetěz vnoření

 W^{k+1,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{s',p}(\Omega) \hookrightarrow W^{s,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{k, p}(\Omega), \quad k \leq s \leq s' \leq k+1 .

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Evans 1998
  2. Lunardi 1995

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Adams, Robert A.(1975),, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-044150-1 .
  • Aubin, Thierry(1982),, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 252, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90704-8 .
  • Bergh, J.; Löfström(1976),, Springer-Verlag, ISBN 9787506260114 
  • Evans, L.C.(1998),, AMS_Chelsea .
  • Maz'ya, Vladimir(1985),, Springer-Verlag .
  • Lunardi, Alessandra(1995),, Basel: Birkhäuser Verlag .
  • Nikodym, Otto(1933),"Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet",Fund. Math.21: 129–150, http://minidml.mathdoc.fr/cgi-bin/location?id=00113509 .
  • Sobolev, S.L.(1963),"On a theorem of functional analysis",Transl. Amer. Math. Soc.34(2): 39–68 ; translation of Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497.
  • Sobolev, S.L.(1963),, Amer. Math. Soc. .
  • Stein, E(1970),, Princeton Univ. Press, ISBN 0-691-08079-8 .
  • Triebel, H.(1995),, Heidelberg: Johann Ambrosius Barth .
  • Ziemer, William P.(1989),, Graduate Texts in Mathematics, 120, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97017-2 .