Sobolevův prostor

Sobolevův prostor je v matematice normovaný vektorový prostor funkcí s normou, která je kombinací L^p-normy funkce a jejích derivací.

Sobolevovy prostory s celočíselnou derivací

Definice

Sobolevův prostor W^k,p(Ω) je množina všech funkcí u ∈ L^p(Ω) tak, že pro každý multi-index α s |α| ≤ k leží slabá parciální derivace $D^\alpha u$ v L^p(Ω), t.j.

$W^{k,p}(\Omega) = \{ u \in L^p(\Omega) : D^{\alpha}u \in L^p(\Omega) \,\, \forall |\alpha| \leq k \},$

kde Ω je otevřena množina v Rⁿ a 1 ≤ p ≤ +∞. Přirozené číslo k se nazývá řád Sobolevova prostoru W^k,p(Ω).

Existuje mnoho možností jak definovat normu prostoru W^k,p(Ω). Následující dvě definice jsou ekvivalentní (t.j. normy jsou ekvivalentní):

$\| u \|_{W^{k, p}(\Omega)} := \begin{cases} \left( \sum_{| \alpha | \leq k} \| D^{\alpha}u \|_{L^{p}(\Omega)}^{p} \right)^{1/p}, & 1 \leq p < + \infty; \\ \sum_{| \alpha | \leq k} \| D^{\alpha}u \|_{L^{\infty}(\Omega)}, & p = + \infty; \end{cases}$

a

$\| u \|'_{W^{k, p}(\Omega)} := \begin{cases} \sum_{| \alpha | \leq k} \| D^{\alpha}u \|_{L^{p}(\Omega)}, & 1 \leq p < + \infty; \\ \sum_{| \alpha | \leq k} \| D^{\alpha}u \|_{L^{\infty}(\Omega)}, & p = + \infty. \end{cases}$

S těmi normami, W^k,p(Ω) je Banachův prostor. Je-li p < +∞, W^k,p(Ω) je dokonce separabilní. Někdy W^k,2(Ω) je označován H^k(Ω), protože je Hilbertův prostor s normou $\| \cdot \|_{W^{k, 2}(\Omega)}$.

Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací

Besselovy potenciální prostory

Pokud 1 < p < ∞, Besselův prostor H^s,p(Rⁿ) je dobře definován pro každé reálné číslo s předpisem

$H^{s,p}(\mathbb{R}^n) := \{f \in L^p(\mathbb{R}^n) : \mathcal{F}^{-1}(1+ |\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\mathcal{F}f \in L^p(\mathbb{R})^n\}$

s normou

$\|f\|_{H^{s,p}(\mathbb{R}^n)} := \|\mathcal{F}^{-1}(1+ |\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\mathcal{F}f \|_{L^p(\mathbb{R}^n)}$.

Besselovy potenciální prostory jsou Banachovými prostory a v speciálním případě p = 2 dokonce Hilbertovými prostory. Pojem Besselova prostoru je zobecnění pojmu Sobolevova prostoru v tom smyslu, že pro přirozené k platí H^k,p(Rⁿ)=W^k,p(Rⁿ) s ekvivalentními normami. Navíc platí řetěz vnoření

$H^{k+1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{k, p}(\mathbb{R}^n), \quad k \leq s \leq s' \leq k+1.$

Sobolev-Slobodeckého prostory

Další způsob definovat Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací používá nápad zobecnění Hölderovy spojitostí do Lebesgueových prostorů. Je-li Ω otevřená množina Rⁿ, 1 ≤ p < ∞, θ ∈ (0,1) a f ∈ L^p(Ω), pak Slobodeckého seminorma je definována předpisem

$[f]_{\theta, p, \Omega} := \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\theta p + n}} \; dx \; dy$.

Je-li s > 0 neceločíselné, Sobolev-Slobodeckého prostor W^{s, p}(Ω) je dobře definován předpisem

$W^{s,p}(\Omega) := \{f \in W^{\lfloor s \rfloor, p}(\Omega) : \sup_{|\alpha| = \lfloor s \rfloor} [D^\alpha f]_{\theta, p, \Omega} < \infty \}$,

kde $\theta = s - \lfloor s \rfloor \in (0,1)$. Je Banachovým prostorem s normou

$\|f \| _{W^{s, p}(\Omega)} := \|f\|_{W^{\lfloor s \rfloor,p}(\Omega)} + \sup_{|\alpha| = \lfloor s \rfloor} [D^\alpha f]_{\theta, p, \Omega}$.

I v případě Sobolev-Slobodeckého prostorů platí řetěz vnoření

$W^{k+1,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{s',p}(\Omega) \hookrightarrow W^{s,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{k, p}(\Omega), \quad k \leq s \leq s' \leq k+1$.

Literatura

• Adams, Robert A.(1975),, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-044150-1 .
• Aubin, Thierry(1982),, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 252, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90704-8 .
• Bergh, J.; Löfström(1976),, Springer-Verlag, ISBN 9787506260114 
• Evans, L.C.(1998),, AMS_Chelsea .
• Maz'ya, Vladimir(1985),, Springer-Verlag .
• Lunardi, Alessandra(1995),, Basel: Birkhäuser Verlag .
• Nikodym, Otto(1933),"Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet",Fund. Math.21: 129–150, http://minidml.mathdoc.fr/cgi-bin/location?id=00113509 .
• Sobolev, S.L.(1963),"On a theorem of functional analysis",Transl. Amer. Math. Soc.34(2): 39–68 ; translation of Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497.
• Sobolev, S.L.(1963),, Amer. Math. Soc. .
• Stein, E(1970),, Princeton Univ. Press, ISBN 0-691-08079-8 .
• Triebel, H.(1995),, Heidelberg: Johann Ambrosius Barth .
• Ziemer, William P.(1989),, Graduate Texts in Mathematics, 120, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97017-2 .