Snellův zákon

Snellův zákon patří k základním zákonům popisujícím šíření vlnění, které přechází (tzv. lomem) přes rozhraní z jednoho prostředí do jiného prostředí, kde se skokově mění optické vlastnosti prostředí.

Je důležitou součástí geometrické optiky, kde popisuje lom paprsku světla a obecněji elektromagnetického záření na rovinném rozhraní.

Nese jméno jednoho z objevitelů, nizozemského matematika W. van Snella.

Formulace zákona

Snellův zákon

Uvažujme dvě různá prostředí, jejichž rozhraní je rovinné. Jsou-li indexy lomu těchto dvou prostředí n₁ resp. n₂, a označíme-li úhly dopadajícího resp. lomeného svazku α₁ resp. α₂ (měřeno ke kolmici rozhraní), pak podle Snellova zákona platí

$n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2$,

nebo také v jiném tvaru (v₁ a v₂ jsou rychlosti šíření vlnění v daném prostředí)

$\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$.

Úhly se vždy měří od normály, tj. při kolmém dopadu je $\alpha_1 = \alpha_2 = 0$. Paprsky se šíří vždy přímočaře.

Odvození

Lom rovinného vlnění na rovinné ploše.

Lom světla.

Odvození Snellova zákona lze provést pomocí dopadu rovinné vlny na rovinné rozhraní dvou prostředí.

V místě dopadajícího paprsku vlnění vztyčíme kolmici, tzv. kolmici dopadu (obecně jde o normálu k ploše rozhraní). Úhel mezi kolmicí dopadu a dopadajícím paprskem se nazývá úhel dopadu. Rovina, která je určena kolmicí dopadu a paprskem dopadajícího vlnění, se nazývá rovina dopadu.

Z obrázku je vidět, že vlnění, které dopadá z prostředí 1 na rozhraní s prostředím 2 pod úhlem dopadu $\alpha_1$, dospěje nejdříve do bodu $A$ a postupně do dalších bodů až po bod $C$. Tyto body se podle Huygensova principu stávají zdroji elementárních vlnění, které se šíří do prostředí 2. Dochází k lomu vlnění. Vlnění, které se v prostředí 1 šířilo fázovou rychlostí $v_1$, se bude v prostředí 2 šířit fázovou rychlostí $v_2$, která je obecně různá od rychlosti $v_1$ a závisí na vlastnostech prostředí, v němž se vlnění šíří. Čelo dopadající rovinné vlny (tedy vlnoplocha) je představováno úsečkou $AB$, čelo lomené vlny je představováno úsečkou $CD$. Pro poměr sinů úhlu dopadu $\alpha_1$ a lomu $\alpha_2$ platí podle obrázku vztah

$\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2} = \frac{\frac{|BC|}{|AC|}}{\frac{|AD|}{|AC|}} = \frac{|BC|}{|AD|} = \frac{v_1t}{v_2t} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = n_{21}$,

kde $|...|$ označuje délku úsečky, $v_1$ a $v_2$ jsou fázové rychlosti vlnění v prostředí 1 a 2, $v_1t$ je vzdálenost, kterou vlnění urazí v prostředí 1 za čas $t$ a $v_2t$ je vzdálenost, kterou vlnění urazí za čas $t$ v prostředí 2, $n_1$ a $n_2$ jsou absolutní indexy lomu v prostředí 1 a 2 a $n_{21}$ je relativní index lomu.

Úhel $\alpha_2$ se nazývá úhel lomu. Rovina určená kolmicí dopadu a lomeným paprskem se nazývá rovina lomu. Podle Huygensova principu splývá rovina lomu s rovinou dopadu.

Slovně lze Snellův zákon formulovat tak, že

Poměr sinů úhlu dopadu a lomu je pro určitá dvě prostředí stálý a rovný poměru velikosti rychlosti vlnění v jednotlivých prostředích.

Snellův zákon platí nejen pro rovinné vlnění, ale v obecném případě pro libovolné vlnění dopadající na rozhraní libovolného tvaru.

Důsledky

Ze Snellova zákona plyne, vyjádřeno slovy, že:

• Při šíření záření z prostředí opticky řidšího do opticky hustšího prostředí se paprsky lámou směrem ke kolmici (tzv. lom ke kolmici).
• Při šíření záření z prostředí opticky hustšího do opticky řidšího prostředí se paprsky lámou směrem od kolmice (tzv. lom od kolmice).

Opticky hustším, resp. řidším prostředím je míněno prostředí s vyšším, resp. nižším indexem lomu.

• Pokud fázová rychlost závisí na frekvenci vlnění (viz disperze (vlnění)), pak pro složené vlnění dochází při lomu k závislosti úhlu lomu na frekvenci. To se projevuje např. v optice rozkladem světla na jednotlivé barevné složky (v přírodě se tento jev projevuje např. vznikem duhy).

Totální odraz

Šíří-li se paprsky z opticky hustšího prostředí (tedy v případě lomu od kolmice) může nastat, že úhel lomu je roven pravému úhlu, tzn. $\alpha_2=\frac{\pi}{2}$. V takovém případě je $\sin\alpha_2=1$, a zákon lomu má tvar

$\sin\alpha_m = \sin\alpha_1 = \frac{v_1}{v_2}$,

kde $\alpha_m$ označuje tzv. mezní úhel. Mezní úhel je největší úhel dopadu, při kterém ještě nastává lom vlnění. Je-li úhel dopadu větší než mezní úhel, tzn. $\alpha_1>\alpha_m$, dochází k tzv. totálnímu (úplnému) odrazu, při kterém se vlnění do prostředí 2 vůbec nedostane a odráží se zpět do prostředí 1.

Hodnotu mezního úhlu lze určit ze vztahu

$\alpha_m = \arcsin \left( \frac{n_2}{n_1} \right)$

Související články

• Lom vlnění
• Disperze vlnění
• Disperze světla
• Brewsterův úhel
• Huygensův princip

Externí odkazy

• en: Animace Snellova zákona
• cz: Animace Snellova zákona

• Fuka, Havelka: Optika
• Havelka: Geometrická optika I
• Vlnové vlastnosti světla: http://www.sweb.cz/radek.jandora/f19.htm