Smíšený součin
Smíšený součin tří vektorů (v daném pořadí) trojrozměrného vektorového prostoru lze definovat jako skalární součin prvního vektoru s vektorovým součinem druhého a třetího vektoru.
![{\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db59279545933d21e0b2f687c389cc638fb3cae2)
V souřadnicích platí:
![{\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]=a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{3}c_{1}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}=det({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ced1e62e5c5508432ea992b2c7ccc6df217afd4)
Vlastnosti
Geometrický význam smíšeného součinu vektorů je (orientovaný) objem rovnoběžnostěnu jimi přirozeně určeného.
Z významu plyne, že smíšený součin tří vektorů je roven nule, právě když jsou lineárně závislé (leží v jedné rovině).
Při záměně libovolných dvou vektorů změní smíšený součin znaménko. Na pořadí vektorů tedy záleží, ale změní se nejvýše znaménko výsledku.
Je to funkce lineární ve všech proměnných.
Hodnota smíšeného součinu vektorů kladně orientované báze je 1.
Smíšený součin je tedy jednotková antisymetrická trilineární forma.
Zobecnění
Vnější součin n vektorů n-rozměrného vektorového prostoru se skalárním součinem lze zavést jako jednotkovou antisymetrickou n-lineární formu (nabývá hodnoty 1 pro vektory kladně orientované ortonormální báze),
![{\displaystyle [{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},...,{\vec {v_{n}}}]=det({\vec {v_{1}}}\ {\vec {v_{2}}}\ ...\ {\vec {v_{n}}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005beacd52d3a933df427fbd745579a6a00fd6a9)