Sloupcový vektor

Sloupcový vektor nebo sloupcová matice v lineární algebře je matice velikosti m × 1, tj. matice sestávající z jediného sloupce s m prvky:

\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}

Transpozicí sloupcového vektoru je řádkový vektor a naopak:

{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{pmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{pmatrix}}

Množina všech sloupcových vektorů s daným počtem prvků vytváří vektorový prostor, který je duálním prostorem k množině všech řádkových vektorů se stejným počtem prvků.

Zápis

V anglicky psané literatuře se pro matice a vektory obvykle používají hranaté závorky:

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}

Aby bylo možné zapisovat sloupcové vektory do stejného řádku jako zbytek vzorce, zapisují se někdy jako řádkové vektory, na které je aplikována operace transpozice.

\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{pmatrix}}^{\rm {T}}

nebo

\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{pmatrix}}^{\rm {T}}

Pro další zjednodušení někteří autoři používají konvenci pro zápis jak sloupcových tak řádkových vektorů jako řádky, ale prvky řádkových vektorů oddělují čárkami a sloupcových středníky (viz alternativní zápis 2 v tabulce níže).

	Řádkový vektor	Sloupcový vektor
Standardní maticový zápis	${\begin{pmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}{\text{ nebo }}{\begin{pmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{pmatrix}}^{\rm {T}}$
Alternativní zápis 1	${\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{pmatrix}}\qquad$	${\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{pmatrix}}^{\rm {T}}$
Alternativní zápis 2	${\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{pmatrix}}\qquad$	${\begin{pmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{pmatrix}}$

Operace

Násobení matic spočívá ve znásobení každého řádkového vektoru jedné matice každým sloupcovým vektorem druhé matice.

Skalární součin dvou vektorů a a b je ekvivalentní s násobením řádkového vektoru a sloupcovým vektorem b:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}.

Související články

Kovariance a kontravariance vektorů

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Column vector na anglické Wikipedii.

AXLER, Sheldon Jay. Linear Algebra Done Right. 2nd. vyd. [s.l.]: Springer-Verlag, 1997. ISBN 0-387-98259-0.
LAY, David C. Linear Algebra and Its Applications. 3rd. vyd. [s.l.]: Addison Wesley, August 22, 2005. ISBN 978-0-321-28713-7.
MEYER, Carl D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. [s.l.]: Society pro Industrial a Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001. Dostupné v archivu pořízeném dne 2001-03-01. ISBN 978-0-89871-454-8.
POOLE, David. Linear Algebra: A Modern Introduction. 2nd. vyd. [s.l.]: Brooks/Cole, 2006. ISBN 0-534-99845-3.
ANTON, Howard. Elementary Linear Algebra (Applications Version). 9th. vyd. [s.l.]: Wiley International, 2005.
LEON, Steven J. Linear Algebra With Applications. 7th. vyd. [s.l.]: Pearson Prentice Hall, 2006.