Skalární součin

Skalární součin je v matematice bilineární zobrazení $V\times V\to T$, kde $V$ je vektorový prostor nad tělesem $T$, přiřazující dvojici vektorů skalár.

Značení

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů $\mathbf {a}$ a $\mathbf {b}$ jsou:

• $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze
• $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle$ – značení běžné ve funkcionální analýze
• $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ – starší značení, dnes již méně používané
• $b\,(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ – $b$ jako bilineární forma
• $\langle \mathbf {b} \mid \mathbf {a} \rangle$ – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Definice

Operaci skalárního součinu dvou vektorů vektorového prostoru nad číselným tělesem ( $\cdot :V\times V\to T$ ) definujeme jako symetrickou pozitivně definitní bilineární formu na vektorovém prostoru, tj. v $n$-rozměrném aritmetickém vektorovém prostoru s kanonickou bází jako:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}$,

a definujeme-li normu libovolného vektoru vektorového prostoru jako druhou odmocninu skalárního součinu vektoru se sebou samým, pak z Cauchyho Schwarzovy a trojúhelníkové nerovnosti pro libovolné dva vektory $\mathbf {a}$ a $\mathbf {b}$ plyne nerovnost $-1\leq {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\leq 1$, tj.:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\ \cos \varphi$,

kde $\varphi \in \left\langle 0,\pi \right\rangle$ je úhel svíraný vektory $\mathbf {a}$ a $\mathbf {b}$. Pro nulový skalární součin nenulových vektorů nutně platí, že svírají pravý úhel, pak říkáme, že tyto vektory jsou vzájemně ortogonální, tj. kolmé.

Vlastnosti

Skalární součin

pro všechny nenulové vektory $\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$ a všechna $a\in T$ platí:

• $(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0$
• $(\mathbf {v} ,\mathbf {0} )=(\mathbf {0} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {0} ,\mathbf {0} )=0$
• $(\mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {w} )+(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$
• $(a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )=a\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$
• ve reálném vektorovém prostoru nad tělesem reálných čísel je skalární součin komutativní, tzn.:

$(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )$

• v komplexním vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel, kde pruhem je značeno komplexní sdružení, platí:

$(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}$

$(a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )={\overline {a}}\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$

Příklad

Mějme dva trojrozměrné vektory $\mathbf {a} =[1,2,3]$ a $\mathbf {b} =[4,5,6]$. Potom jejich skalární součin je:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=32$.

Aplikace

• pro dva vektory $\mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u^{i}\mathbf {e} _{i}$ a $\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}v^{i}\mathbf {e} _{i}$, zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi $\mathbf {e}$, lze skalární součin definovat jako:

$(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i,j=1}^{n}(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})u^{i}{\overline {v^{j}}}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}u^{i}{\overline {v^{j}}}$, kde $g_{ij}=(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})$ je metrický tenzor (v tomto případě matice).

• pro dvě posloupnosti $a,b:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ lze skalární součin definovat jako řadu:

$(a,b)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\overline {b_{i}}}$, pokud řada konverguje.

• skalární součin dvou funkcí lze definovat jako integrál:

$(f,g)=\int _{a}^{b}f(x)\cdot {\overline {g(x)}}\ dx$, pokud integrál konverguje.

Související články

• Vektorový prostor
• Vektorový součin
• Smíšený součin

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu skalární součin na Wikimedia Commons

Autoritní data	GND: 4181619-5