Shannonův teorém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Shannonův teorém (Nyquistův teorém, Kotělnikovův teorém, Nyquistův-Shannonův teorém, Shannonův-Nyquistův-Kotělnikovův teorém, apod.)

„Přesná rekonstrukce spojitého, frekvenčně omezeného, signálu z jeho vzorků je možná tehdy, pokud byla vzorkovací frekvence vyšší než dvojnásobek nejvyšší harmonické složky vzorkovaného signálu.“

Shannonův teorém a vzorkovací frekvence v praxi[editovat | editovat zdroj]

V praxi se tedy vzorkovací frekvence volí dvakrát větší plus ještě malá rezerva než je maximální požadovaná přenášená frekvence. V telekomunikacích je to např. 8 kHz neboť je třeba přenášet pouze signály ve standardním telefonním pásmu (od 0,3 do 3,4 kHz zaokrouhleno směrem nahoru 4 kHz). Například u záznamu na CD je to 44,1 kHz neboť průměrné zdravé lidské ucho slyší maximálně cca do 20 kHz a tudíž vzorkovací frekvence 44,1 kHz byla zvolena s určitou rezervou.

Shannonův teorém lze vyjádřit vztahem


t_v\leq\frac{1}{2}f_{max} [s],

kde t_v je interval mezi dvěma vzorky,f_{max} je maximální frekvence signálu.

V případě použití nižší vzorkovací frekvence může dojít k tzv. aliasingu, kdy rekonstruovaný signál je výrazně odlišný od původního vzorkovaného signálu.

Shannonův teorém pro vzorkování obrazu[editovat | editovat zdroj]

Nechť f(x,y) je spojitá funkce obrazu. Vzorkováním funkce f(x,y) rozumíme reprezentaci této funkce pomocí matice (označme ji d(x,y)).

Dále definujme konvoluci dvou funkcí f(x),g(x)L1 jako

f(x)*g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(x-t)dt

Označme F(u,v) jako Fourierovu transformaci funkce f(x,y).

Definujme ještě tzv. delta funkci δ, pro kterou platí:

\delta(x) = 0 \Leftrightarrow x\neq 0
\delta(x) = ? \Leftrightarrow x=0
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx = 1

Pak vzorkování s krokem Δx, Δy je pouze násobení funkce obrazu nekonečným polem delta funkcí s(x,y) definovaným jako

s(x,y) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta(x-i\Delta x, y-j\Delta y)

Tedy: d(x,y) = f(x,y)s(x,y)

Platí, že Fourieova transformace funkce s(x,y) má tvar,


S(u,v) = \frac{1}{\Delta x \Delta y}\sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta(u-\frac{i}{\Delta x}, v-\frac{j}{\Delta y})

Díky konvolučnímu teorému, který říká:

f(x)*g(x)=F(u)G(u)\,
f(x)g(x)=F(u)*G(u)\,

platí, že

D(u,v) = F(u,v)*S(u,v)\,

Vzorkování je pak konvoluce Fourierova obrazu F funkce f s polem delta funkcí D. To znamená, že D(u,v) je nekonečné pole Fourierových obrazů funkce f. Při vzorkování s menším krokem se tyto obrazy od sebe vzdalují a naopak při vzorkování s delším krokem se k sobě přibližují. Pokud vzorkujeme příliš řídce, mohou se tyto obrazy protnout a vzniká efekt zvaný aliasing. Pokud je funkce frekvenčně omezená, je možné ji navzorkovat beze ztráty informace (tzn., že je možné ze vzorků opět získat funkci f v původní podobě).

Dle Shannonova teorému je pak ideální frekvence pro vzorkování rovna dvojnásobku maximální frekvence vyskytující se ve funkci f. Při vzorkování s krokem menším, než je polovina periody maximální frekvence, vzorkuji zbytečně moc. Při kroku větším než polovina periody maximální frekvence se Fourierovy obrazy protnou a vzniká alias.

Související články[editovat | editovat zdroj]