Sférická vlna

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Sférická (kulová) vlna je taková vlna, jejíž vlnoplochy jsou koncentrické kulové plochy. Máme-li na mysli vlnění skalárního pole (tzv. skalární sférickou vlnu), pak je sférická vlna přesným řešením vlnové rovnice se sférickou symetrií. Pro vektorové pole (což se týká např. elektromagnetické vlny) se sice o přesné řešení vlnové rovnice nejedná, přesto však skalární sférická vlna popisuje pole v dobré aproximaci, pokud lze zdroj vlnění považovat za bodový nebo se nacházíme v dostatečné vzdálenosti. Na tomto předpokladu staví např. Huygensův princip.

[editovat] Matematické vyjádření

Sférická skalární vlna vycházející z bodového zdroje.

Ve sférických souřadnicích lze vlnovou rovnici vyjádřit jako

$\frac{1}{r^2}\frac{\part}{\part r}\left(r^2 \frac{\part u}{\part r}\right) - \frac{1}{c^2}\frac{\part^2 u}{\part t^2} = 0$ ,

kde $r$ je vzdálenost od počátku, $t$ je čas, $c$ je fázová rychlost a $u$ označuje výchylku.

Pro řešení uvedené vlnové rovnice se obvykle používá substituce $u(r,t) = \frac{v(r,t)}{r}$ , po jejímž dosazení dostaneme

$\frac{\part^2 v}{\part r^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\part^2 u}{\part t^2} = 0$

To je rovnice pro jednorozměrnou rovinnou vlnu.

Řešení lze vyjádřit ve tvaru

$u(r,t) = \frac{A}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k(r-ct)} + \frac{B}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k(r+ct)}$

Člen $\frac{A}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k(r-ct)}$ představuje tzv. rozbíhavou (divergentní, expanzní) vlnu. Tento člen představuje postupnou vlnu, která se vzdaluje od počátku (zdroje).

Člen $\frac{B}{r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k(r+ct)}$ představuje tzv. sbíhavou (konvergentní, kompresní) vlnu. Tento člen představuje postupnou vlnu, která se přibližuje od počátku (zdroje).