Seznam základních integrálů

Seznamy integrálů

Tabulka integrálů elementárních funkcí
racionální funkce
iracionální funkce
exponenciální funkce
logaritmické funkce
trigonometrické funkce
inverzní trigonometrické funkce
hyperbolické funkce
inverzní hyperbolické funkce

Toto je seznam základních integrálů (primitivních funkcí) často používaných ve výuce a v praxi. Odvození obvykle probíhá tak, že se derivuje primitivní funkce.

$\int {0} \,\mathrm{d}x = c$

$\int {a} \,\mathrm{d}x = ax + c$

$\int {x^n} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \mbox{ pro } x>0, n \in \mathbb{R} \mbox{ a } n \ne -1$. Pro přirozená $n$ platí uvedený vztah pro všechna $x$.

$\int {\frac{1}{x}} \,\mathrm{d}x = \ln |x| + c \mbox{ pro } x\ne 0$

$\int {\mathrm{e}^x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^x + c$

$\int {a^x} \,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{ln(a)} \ + c \mbox{ pro } a>0, a\ne 1$

$\int {\sin x} \,\mathrm{d}x = - \cos x + c$

$\int {\cos x} \,\mathrm{d}x = \sin x + c$

$\int {\frac{1}{\sin^2 x}} \,\mathrm{d}x = -\operatorname{cotg} \,x + c \mbox{ pro } x\ne n\pi$, kde $n$ je celé číslo.

$\int {\frac{1}{\cos^2 x}} \,\mathrm{d}x = \operatorname{tg} \,x + c \mbox{ pro } x\ne (2n+1)\frac{\pi}{2}$, kde $n$ je celé číslo.

$\int \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x = \operatorname{arctg}x + c_1 = - \operatorname{arccotg}x + c_2$

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \mathrm{d}x = \operatorname{arcsin}x + c_1 = - \operatorname{arccos}x + c_2 \mbox{ pro } -1<x<1$

$\int \frac{1}{1 - x^2} \mathrm{d}x = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\ln{|\frac{1+x}{1-x}|} + c, & \mbox{ pro } |x|\ne 1 \\ \operatorname{arctgh}x + c, & \mbox{ pro } |x|<1 \\ \operatorname{arccotgh}x + c & \mbox{ pro } |x|>1 \end{matrix}\right.$

$\int \sinh x \, \mathrm{d}x = \cosh x + c$

$\int \cosh x \, \mathrm{d}x = \sinh x + c$

$\int \frac{1}{\sinh^2 x} \mathrm{d}x = - \operatorname{cotgh}x + c \mbox{ pro } x\ne 0$

$\int \frac{1}{\cosh^2 x} \mathrm{d}x = \operatorname{tgh}x + c$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\mathrm{d}x = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) + c = \operatorname{arcsinh}x + c$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\mathrm{d}x = \left\{\begin{matrix} \ln{|x + \sqrt{x^2 - 1}|} + c, & \mbox{ pro } |x|> 1 \\ \operatorname{arcosh}x + c, & \mbox{ pro } |x|<1 \end{matrix}\right.$

$\int [f(x) \pm g(x)] \, \mathrm{d}x = \int f(x)\,\mathrm{d}x \pm \int g(x)\,\mathrm{d}x$

$\int k\,f(x)\,\mathrm{d}x = k \int f(x)\,\mathrm{d}x$ pro libovolné reálné číslo k