Schurův rozklad

V numerické lineární algebře se velmi často využívá Schurova rozkladu matice $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$, především k výpočtu vlastních čísel matice.

Schurův rozklad obecné matice

Jedná se o rozklad tvaru $\displaystyle A=QRQ^{*}$, kde $\displaystyle Q$ je unitární matice a $\displaystyle R$ je horní trojúhelníková matice. Tato matice má na diagonále vlastní čísla matice $\displaystyle A$.

Schurův rozklad normální matice

Je-li navíc matice $\displaystyle A$ normální, tj. $\displaystyle AA^{*}=A^{*}A$ (speciálně je-li matice $\displaystyle A$ symetrická, hermitovská, antisymetrická, antihermitovská, ortogonální, nebo unitární), pak

${\begin{array}{rl}(QRQ^{*})(QRQ^{*})^{*}&=(QRQ^{*})^{*}(QRQ^{*}),\\(QRQ^{*})(QR^{*}Q^{*})&=(QR^{*}Q^{*})(QRQ^{*}),\\QRR^{*}Q^{*}&=QR^{*}RQ^{*},\\RR^{*}&=R^{*}R,\end{array}}$

je také matice $\displaystyle R$ normální. Porovnáním (diagonálních) prvků matic $\displaystyle RR^{*}$ a $\displaystyle R^{*}R$ zjistíme, že matice $\displaystyle R$ je diagonální.

Porovnáním prvních prvků prvního řádku rovnosti

$[RR^{*}]_{1,1}=|r_{1,1}|^{2}+\sum _{j=2}^{n}|r_{1,j}|^{2}=|r_{1,1}|^{2}=[R^{*}R]_{1,1},$

dostaneme $\displaystyle r_{1,j}=0$, $\displaystyle j=2,\ldots ,n$. Analogicky postupujeme dále.

Schurova věta

Pro libovolnou matici $\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ existuje unitární matice $\displaystyle Q$ tak, že $\displaystyle R=Q^{*}AQ$ je horní trojúhelníková matice s vlastními čísly matice $\displaystyle A$ na diagonále v libovoném předepsaném pořadí. Je-li navíc matice $\displaystyle A$ normální, je matice $R$ diagonální.

Výpočet

K výpočtu Schurova rozkladu se využívá QR algoritmu, který je založen na QR rozkladu. Avšak pro matici řádu většího nebo rovno 5 nelze obecně spočíst tento rozklad v konečném počtu kroků.