Ruffiniho pravidlo

V lineární algebře Ruffiniho pravidlo dovoluje dělit jednoduchým způsobem jakýkoliv polynom polynomem prvního řádu ve formě (x-a). Pravidlo popsal italský matematik Paolo Ruffini v roce 1809. 

Algoritmus

Ruffiniho pravidlo stanovuje metodu dělení polynomu

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

polynomem

$A(x)=x-r$

pro dosažení vysledku

$Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}$

a zbytek R, což je konstanta, případně nula.

Algoritmus není nic jiného než dělení polynomu P(x) lomeno A(x), ovšem zapsáno ve zjednodušené formě.

Pro dělení P(x) lomeno A(x) postupujeme takto:

1. Vezmeme koeficienty P(x) a zapíšeme je do prvního řádku v pořadí podle mohutnosti x. Do druhého řádku před svislou čáru zapíšeme  r  (konstanta polynomu A(x)):
   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}$
2. Zkopírujeme koeficient (a_n) dolů pod čáru:
   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$
3. Vynásobíme nejpravější číslo z těch, co jsou pod čarou, krát r a výsledek zapíšeme do řádku nad čarou o jednu pozici vpravo:
   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$
4. Sečteme tuto hodnotu s hodnotou nad ní a výsledek zapíšeme pod čáru:
   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}$
5. Opakujeme operaci dokud nedojdeme na konec tabulky
   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=R\\\end{array}}$

Hodnoty

$b_{n-1},b_{n-2},\dots ,b_{0}$

jsou koeficienty výsledky Q(x), jehož řád je o jedno menší než řád P(x). R je zbytek po dělení a je to konstanta (není to funkce x).

Příklady

Dělení polynomem (x − r)

Mějme

$\,P(x)=2x^{3}-5x^{2}-x+6$

$\,A(x)=x+1$

Chceme vydělit P(x) lomeno A(x) s použitím Ruffiniho pravidla. První problém je v tom, že A(x) není ve formě (x − r), ale (x + r). To ovšem není vážný problém, stačí zapsat A(x) jako

$A(x)=x+1=x-(-1)$

Jdeme na to:

1. Zapíšeme koeficienty P(x) a r:
   ${\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}}$
2. Zkopírujeme první koeficient dolů:
   ${\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}$
3. Vynásobíme nejpravější číslo pod čarou krát r a výsledek zapíšeme do následující pozice nad čarou:
   ${\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}$
4. Sečteme hodnoty ve druhém sloupci, výsledek zapíšeme pod čáru:
   ${\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&-7&&\\\end{array}}$
5. Opakujeme body 3 a 4 dokud nedojdeme na konec tabulky:
   ${\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&7&-6\\\hline &+2&-7&+6&0\\\end{array}}$

Dostali jsme tedy výsledek, pro který platí:

$P(x)=A(x)\cdot Q(x)+R$

kde

$Q(x)=2x^{2}-7x+6$

$R=0$.

Dělení polynomem (ax − k)

Aplikací jednoduché transformace můžeme použít Ruffiniho pravidlo i pro polynomy ve tvaru $A(x)=ax-k$. 

$P(x)=(ax-k)\cdot Q(x)+R(x)$

Bude stačit vydělit všechno koeficientem a, který je vždy různý od nuly (jinak by to nebyl polynom).

${\frac {P(x)}{a}}={\frac {(ax-k)\cdot Q(x)}{a}}+{\frac {R(x)}{a}}$

Nechť $P(x)/a=P'(x)$ a $R(x)/a=R'(x)$, dostaneme:

$P'(x)=(x-{\frac {k}{a}})\cdot Q(x)+R'(x)$

Takže $Q(x)$ je též výsledek dělení $P'(x)$ lomeno $(x-k/a)$, který se vyřeší výše uvedeným algoritmem. Abychom dostali zbytek $R(x)$ bude stačit vynásobit zbytek který jsme dostali $R'(x)$ krát $a$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Regola di Ruffini na italské Wikipedii.

Portály: Matematika