Rozpad částice

Jako rozpad částice se ve fyzice označuje samovolný rozpad izolované částice na dvě (popř. více) nových částic, které se po rozpadu pohybují vzájemně nezávisle. Tyto nově vzniklé částice se označují jako produkty rozpadu. Pokud se mohou také produkty rozpadu dále rozpadat, může celý proces dále pokračovat. Celý proces rozpadu původní částice až na výsledný produkt pak tvoří rozpadovou řadu.

Z hlediska klasické fyziky si lze celý proces rozpadu představit tak, že původní částice je tvořena uzavřeným systémem několika částic, které se nacházejí v určité ohraničené části prostoru a předpokládáme, že vnitřní energie systému je záporná (takový stav systému bývá označován jako metastabilní). Takový systém se může rozpadnout na dva podsystémy, které mají dostatečnou kinetickou energii, aby se mohly vzájemně vzdálit na nekonečnou vzdálenost. Uvnitř výchozí částice (tedy metastabilní soustavy) může totiž dojít k takovému přerozdělení energie, že vnitřní energie alespoň jednoho produktu poklesne natolik, aby ostatní produkty získaly na úkor tohoto poklesu dostatečnou kinetickou energii, která jim umožní překonat síly udržující je pohromadě.

Z hlediska kvantové fyziky se jedná o proces, při kterém se (nestabilní) částice přeměňuje na jiné částice (speciálním případem je radioaktivní rozpad). Nejčastěji je pod rozpadem částic myšlen rozpad nestabilní elementární částice na jiné elementární částice.

Klasická fyzika

V klasické fyzice je výhodné popisovat rozpad v těžišťové soustavě, neboť v této soustavě je celková hybnost nulová. Hybnost původní částice je tedy v těžišťové soustavě také nulová. Ze zákona zachování hybnosti pak plyne, že hybnosti obou produktů mají stejnou velikost a opačný směr. Označíme-li vnitřní energii částice před rozpadem $\varepsilon_0$ a vnitřní energie částic po rozpadu jako $\varepsilon_1$ a $\varepsilon_2$, pak podle Königovy věty platí

$\varepsilon_0 = \varepsilon_1 + \frac{p^2}{2m_1} + \varepsilon_2 + \frac{p^2}{2m_2}$,

kde $p$ je velikost hybnosti a $m_1, m_2$ jsou hmotnosti produktů. Pro energii rozpadu dostáváme

$\Delta = \varepsilon_0-\varepsilon_1-\varepsilon_2 = \frac{p^2}{2m_1}+\frac{p^2}{2m_2} = \frac{p^2}{2m}$,

kde $m$ je redukovaná hmotnost částic 1 a 2. Veličina $\Delta$ bývá také označována jako energetická diference vnitřních stavů. Vzhledem k tomu, že pravá strana rovnice je nezáporná, musí být také $\Delta\ge 0$.

Ze zákonů zachování plynou velikosti rychlostí produktů v těžišťové soustavě, tzn. $v_1=\frac{p^2}{2m1}$, $v_2=\frac{p^2}{2m_2}$. Směr vektorů $\mathbf{v}_1$ a $\mathbf{v}_2$ v prostoru však určen není, s výjimkou podmínky, že oba vektory mají opačnou orientaci.

V praxi je studován rozpad částic, který probíhá v určité laboratorní soustavě. Předpokládejme, že se částice před rozpadem pohybuje rychlostí $\mathbf{V}$. Označíme-li rychlost produktu 1 v těžišťové soustavě jako $\mathbf{v}_{1\mbox{C}}$ a v laboratorní soustavě jako $\mathbf{v}_{1\mbox{L}}$, pak platí

$v_{1\mbox{C}}^2 = v_{1\mbox{L}}^2 + V^2 - 2v_{1\mbox{L}}V\cos\theta_{1\mbox{L}}$,

kde $\theta_{1\mbox{L}}$ je úhel mezi vektory $\mathbf{V}$ a $\mathbf{v}_{1\mbox{L}}$.

Je-li $v_{1\mbox{L}}<V$, pak částice 1 může v laboratorní soustavě vyletět vzhledem k rychlosti $V$ pod libovolným úhlem $\theta_{1\mbox{L}}$. Pokud je $\theta_{1\mbox{L}}>V$, pak částice může vyletět pouze pod určitým úhlem $\theta_{1\mbox{L},\mbox{max}}$ vzhledem k $V$, tzn. částice se pohybuje ve směru vektoru $\mathbf{V}$ a může od tohoto směru být odkloněna maximálně o úhel $\theta_{1\mbox{L},\mbox{max}}$, přičemž tento úhel je určen podmínkou

$\sin\theta_{1\mbox{L},\mbox{max}} = \frac{v_{1\mbox{C}}}{V}$

Mezi úhly $\theta$ v L-soustavě a C-soustavě platí vztah

$\operatorname{tg}\theta_{1\mbox{L}} = \frac{v_{1\mbox{C}}\sin\theta_{1\mbox{C}}}{V+v_{1\mbox{C}}\cos\theta_{1\mbox{C}}}$

popř. obrácený vztah

$\cos\theta_{1\mbox{L}} = -\frac{V}{v_{1\mbox{C}}}\sin^2\theta_{1\mbox{L}} \pm \cos\theta_{1\mbox{L}}\sqrt{1-\frac{V^2}{v_{1\mbox{C}}^2} \sin^2\theta_{1\mbox{L}}}$

Pro $V<v_{1\mbox{C}}$ odpovídá každému úhlu $\theta_{1\mbox{L}}$ právě jeden úhel $\theta_{1\mbox{C}}$ (bere se znaménko +, aby bylo zajištěno, že při $\theta_{1\mbox{L}}=0$ je také $\theta_{1\mbox{C}}=0$). Pro $V>v_{1\mbox{C}}$ odpovídají každému $\theta_{1\mbox{L}}$ dvě hodnoty $\theta_{1\mbox{C}}$.

Podobně lze postupovat i pro částici 2.

Při velkém počtu rozpadajících se částic budou produkty vyletovat různými směry. V těžišťové soustavě bude rozdělení počtu částic do jednotlivých směrů izotropní, tzn. do všech směrů vyletí (v průměru) stejný počet částic. Relativní počet $\mathrm{d}\Pi$ produktů v prostorovém úhlu $\mathrm{d}\Omega_\mbox{C}$ je tedy roven $\frac{\mathrm{d}\Omega_\mbox{C}}{4\pi}$. Pro prostorový úhel $\mathrm{d}\Omega_\mbox{C} = 2\pi\sin\theta_\mbox{C}\mathrm{d}\theta_\mbox{C}$ sevřený mezi $\langle \theta_\mbox{C},\theta_\mbox{C}+\mathrm{d}\theta_\mbox{C} \rangle$ bude

$\mathrm{d}\Pi = \left|\frac{1}{2}\sin\theta_\mbox{C}\mathrm{d}\theta_\mbox{C}\right|$

Integrací tohoto výrazu přes $0\le \theta_\mbox{C}\le \pi$ dostaneme očekávanou hodnotu 1. Dosazením za $\theta_\mbox{C}$ lze získat odpovídající vztah v L-soustavě.

Diferencování vztahu mezi rychlostmi v laboratorní a těžišťové soustavě lze získat vztah

$\mathrm{d}\cos\theta_\mbox{C} = -\sin\theta_\mbox{C}\mathrm{d}\theta_\mbox{C} = \frac{\mathrm{d}\left(v_\mbox{L}^2\right)}{2v_\mbox{C}V} = \frac{\mathrm{d}T}{mv_\mbox{C}V}$,

kde $T=\frac{1}{2}mv_\mbox{L}^2$ je kinetická energie produktu.

Z předchozích vztahů pak pro relativní počet produktů s kinetickou energií v intervalu $\langle T,T+\mathrm{d}T \rangle$ platí

$\mathrm{d}\Pi = \frac{\mathrm{d}T}{2mv_\mbox{C}V}$

Kinetická energie je tedy v intervalu mezi $T_\mbox{min}=\frac{1}{2}m{(v_\mbox{C}-V)}^2$ a $T_\mbox{max}=\frac{1}{2}m{(v_\mbox{C}+V)}^2$ rozdělena rovnoměrně.

V případě rozpadu na více produktů je situace komplikovanější, neboť zákony zachování neurčují řešení jednoznačně.

Související články

• Částice
• Ráz těles
• Poločas rozpadu