Fyzikální rozměr veličiny

Fyzikální rozměr veličiny nebo zkráceně rozměr veličiny je formální vyjádření závislosti měřené fyzikální veličiny na veličinách základních, odpovídajících základním jednotkám. Zpravidla se jedná o součin celočíselných mocnin rozměrů základních veličin, v případě některých veličinových soustav mohou být mocniny polocelé (např. soustava CGS).

Rozměr veličiny X se korektně značí jako dim X, pro zjednodušení se však často používá stejný zápis jako pro jednotky, tedy značka veličiny v hranatých závorkách: [X].

V každé fyzikální rovnici musí být rozměry veličin na obou stranách stejné. Toho lze využít k rozměrové kontrole správnosti složitějších fyzikálních rovnic.

Stanovení rozměru odvozené veličiny a rozměrová rovnice

Rozměr odvozené veličiny se stanoví z definičního vztahu dané veličiny.

Veličiny koherentních soustav jsou zpravidla definovány jako součiny a podíly základních veličin. V definičním vztahu se nahradí značky veličin symboly rozměrů a ty se rozepíší do součinu mocnin rozměrů základních veličin (majících obvykle specifické značky). Výsledný vztah se pak převede do tvaru součinu mocnin rozměrů základních veličin podle zásad pro úpravu součinů a podílů mocnin. Pokud v definičním vztahu figuruje číselný koeficient, nahradí se (stejně jako každá bezrozměrná veličina) jednotkou, efektivně se tedy vynechá. Sčítat a odečítat lze pouze veličiny stejného rozměru - proto je přirozené, že každý z členů musí mít stejný rozměr (a pro definici rozměru odvozené veličiny postačuje ponechání pouze jediného členu). Derivace v definičním vztahu se bere jako naznačené dělení infinitezimálních přírůstků – nahradí se proto prostým podílem, integrál jako nekonečný součet součinů integrované veličiny a infinitezimálního přírůstku integrační proměnné – nahradí se tedy součinem obou rozměrů. Vyskytuje-li se v definičním vztahu exponenciální, logaritmická nebo goniometrická funkce, její hodnota se bere jako bezrozměrná; taktéž její argument musí být bezrozměrný.

Ke každé veličinové rovnici lze napsat podle stejných zásad odpovídající rovnici rozměrovou a rozepsat ji až na vztahy rozměrů základních veličin. Rozměrovou rovnici lze využít k rozměrové kontrole správnosti původní rovnice - obě strany rovnice musí mít stejný rozměr, jakož i všechny členy naznačených součtů a rozdílů musí mít shodný rozměr. Protože argumenty exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí musí být bezrozměrné, přibude ke každé takové funkci ještě kontrolní rozměrová rovnice pro její argument.

Přehled symbolů fyzikálních rozměrů soustavy SI

Základní veličina	Symbol rozměru SI	Hlavní jednotka SI	Značka
délka	L	metr	m
hmotnost	M	kilogram	kg
čas	T	sekunda	s
elektrický proud	I	ampér	A
teplota	Θ	kelvin	K
látkové množství	N	mol	mol
svítivost	J	kandela	cd

Historická poznámka

Do roku 1995 měly svůj zvlášní nezávislý rozměr i tzv. doplňkové veličiny a jednotky, ač měly charakter bezrozměrných odvozených veličin a jednotek. V současnosti mají jako bezrozměrné odvozené veličiny a jednotky rozměr 1.

Dříve tedy tabulka rozměrů obsahovala ještě:

Doplňková veličina	Symbol rozměru	Jednotka	Značka
rovinný úhel	α	radián	rad
prostorový úhel	Ω	steradián	sr

Tyto rozměry vystupovaly i v rozměrech veličin odvozených z veličin doplňkových; např. korektní rozměr úhlové rychlosti byl do roku 1995 T⁻¹α, rozměr osvětlení (a jednotky lux) byl L⁻²JΩ apod.

Příklady

Příklad stanovení rozměru veličiny

Jako příklad použijeme veličinu práce W, která je definována jako součin síly F a dráhy s po níž působila, tedy

W = F·s.

Rozměr veličiny W, který označíme [W], dostaneme následujícím způsobem: Protože dráha s představuje základní veličinu (délku), dosadíme za s příslušný symbol, tedy L. Síla však není základní veličinou, proto bude

[W] = [F]·L.

V dalším kroku použijeme definici síly

F = m·a,

kde m je hmotnost tělesa (tedy základní veličina, dosadíme M) a a je zrychlení, které mu síla F uděluje; pro rozměr [F] získáme vztah

[F] = M·[a].

Zpracujeme zrychlení podobným způsobem

a = dv / dt,

kde v je rychlost a t je čas, a získáme

[a] = [v] / T = [v]·T⁻¹.

Konečně

v = ds / dt,

z čehož dostaneme

[v] = L / T = LT⁻¹.

Zpětným dosazováním do předchozích rovnic a úpravami nakonec získáme fyzikální rozměr veličiny práce

[W] = L²MT⁻².

Zpracujeme-li obdobným způsobem rovnici pro výpočet kinetické energie E_k

E_k = ½ m·v²,

zjistíme, že rozměr této veličiny je

[E_k] = L²MT⁻².

Je tedy stejný jako rozměr práce. Tato skutečnost nepřekvapuje, protože kinetická energie má stejnou jednotku jako práce, a jednotkou je dán i rozměr. Není však pravidlem, že veličiny stejného rozměru musí mít stejnou jednotku - stejný rozměr má i moment síly, je to však veličina s jiným fyzikálním charakterem, proto má i jinou jednotku - newton metr.

Příklady rozměrové kontroly veličinových rovnic

1. $\oint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =Q$ (Gaussův zákon elektrostatiky)

   [D]·[A] = [Q]

   l. s. = L⁻²TI·L² = TI

   p. s. = TI

2. $\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p$ (vyjádření objemové derivace vnitřní energie pomocí tlaku a teploty)

   [U]/[V] = [T]·([p]/[T]) = [p]

   l. s. = L²MT⁻² / L³ = L⁻¹MT⁻²

   (prostřední člen po vykrácení rozměru [T] totožný s pravou stranou)

   p. s. = L⁻¹MT⁻²

3. $y=r\mathrm {e} ^{-bt}\sin(\omega t+\varphi )$ (výchylka tlumených kmitů)
   1. [y] = [r]

      L = L

   2. [b]·[t] = 1 (rozměrová rovnice pro argument exponenciální funkce)

      T⁻¹·T = 1

   3. [ω]·[t] = [φ] = 1 (rozměrová rovnice pro argument goniometrické funkce)

      T⁻¹·T = 1 = 1

Související články

• Bezrozměrná veličina
• Dimenze
• Fyzikální jednotka
• Buckinghamův pí teorém

Autoritní data	GND: 4149934-7