Rozkladové těleso

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V abstraktní algebře, podoboru matematiky, se rozkladovým tělesem polynomu s koeficienty z nějakého tělesa rozumí nejmenší nadtěleso tohoto tělesa, ve kterém lze onen polynom rozložit na součin polynomů stupně jedna.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je dáno těleso T, jeho nadtěleso U a mnohočlen p(x)\in T[x]. Pak U je rozkladové těleso mnohočlenu p(x), pokud lze polynom p rozložit v Una lineární polynomy, tedy

p(x)=\prod_{i=1}^{\deg(p)}(x-a_i),

přičemž a_i\in U, a koeficienty a_i generují U nad T.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Lze ukázat, že rozkladové těleso je jednoznačné až na izomorfismus.

Máme-li dáno algebraicky uzavřené těleso V obsahující T, pak existuje pro daný mnohočlen jednoznačně určené rozkladové těleso U, které je podtělesem V, a je generované právě kořeny p.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Splitting field na anglické Wikipedii.