Otočení (geometrie)

Geometrické otočení.

V geometrii představuje otočení neboli rotace v eukleidovské rovině geometrické zobrazení, které je charakterizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem, tzn. středem otočení, se změní o stejný úhel a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna.

Otočení v rovině kolem středu $S$ o (orientovaný) úhel $\alpha$ je tedy takové shodné zobrazení, při kterém je obrazem bodu $A\neq S$ bod $A^\prime$, pro který platí $|SA| = |SA^\prime|$ a velikost úhlu $\angle ASA^\prime$ je $\alpha$. Obrazem středu otočení $S$ je opět bod $S$.

Podobně se dá definovat rotace v třírozměrném prostoru jako otočení kolem jisté osy o pevný úhel. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při otočení nemění. Při otočení se také nemění dimenze otáčeného geometrického útvaru.

Otočení se řadí mezi shodná zobrazení.

Matice rotace

Rotace v dvourozněrné Eukleidově rovině kolem počátku souřadnic o úhel $\alpha$ je dána vztahy

$x^\prime = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y^\prime = x \sin \alpha + y \cos \alpha$.

Čárkované souřadnice $x', y'$ jsou souřadnice otočeného bodu, který měl před otočením souřadnice $x, y$. Podobně rotace v třírozměrném Eukleidově prostoru o úhel $\alpha$ kolem osy $z$ je dáno vztahem

$x^\prime = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y^\prime = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

$z^\prime = z$

Obecná rotace v prostoru se dá zapsat ve vektorovém tvaru $\mathbf{x'}=A\mathbf{x}$ kde $A$ je ortogonální matice.

Matice rotace kolem osy $\mathbf{n}=(n_1, n_2,n_3)$ , kde n₁² + n₂² + n₃² = 1 o úhel $\alpha$ je

$A = \begin{pmatrix} \cos \alpha +n_1^2 (1-\cos \alpha)&n_1 n_2(1-\cos \alpha) -n_3\sin \alpha &n_1 n_3(1-\cos \alpha) +n_2\sin \alpha \\ n_1 n_2(1-\cos \alpha) +n_3\sin \alpha & \cos \alpha +n_2^2 (1-\cos \alpha) & n_2 n_3(1-\cos \alpha) -n_1\sin \alpha \\ n_1 n_3(1-\cos \alpha) -n_2 \sin \alpha & n_2 n_3(1-\cos \alpha) +n_1\sin \alpha & \cos \alpha +n_3^2 (1-\cos \alpha)\end{pmatrix}$.

Množina všech takových matic tvoří speciální ortogonální grupu $SO(3)$.

Rotace souřadnic

Někdy se předpokládá, že se objekty v prostoru nezměnily, ale otočil se "pozorovatel", což odpovídá změně souřadnic. Změna souřadnic, která je dána stejným vzorcem jako rotace v prostoru, se nazývá rotace souřadnic, anebo ortogonální transformace souřadnic. Pokud $x_1,\ldots, x_n$ jsou staré souřadnice a $x_1',\ldots, x_n'$ nové souřadnice nějakého bodu nebo vektoru které vznikly rotací, pak platí

$\sum x_i^2=\sum (x_i')^2.$

Rotace souřadnic o úhel $\varphi$ kolem nějaké osy je dáno stejným vzorcem jako geometrická rotace prostoru kolem stejné osy o opačný úhel.

Související články

• Shodné zobrazení
• Eulerovy úhly