Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Relativistická hmotnost je hmotnost tělesa , kterou měří pozorovatel v teorii relativity . Již podle speciální teorie relativity není hmotnost stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na tom, jak rychle se těleso vůči pozorovateli pohybuje.
Lze ji spočítat podle vzorce
m
=
m
0
1
−
v
2
c
2
{\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
,
kde
m
0
{\displaystyle m_{0}}
je klidová hmotnost (nebo také invariantní či vlastní hmotnost),
v
{\displaystyle v}
je rychlost tělesa vůči pozorovateli a
c
{\displaystyle c}
rychlost světla .
Odvození
Uvažujme nepružnou srážku popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi , přičemž boost , jehož rychlost je
ω
{\displaystyle \omega }
, probíhá podél osy x . Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako
m
1
+
m
2
=
M
,
{\displaystyle m_{1}+m_{2}=M,\,}
v
1
m
1
+
v
2
m
2
=
V
M
,
{\displaystyle v_{1}m_{1}+v_{2}m_{2}=VM,\,}
m
1
′
+
m
2
′
=
M
′
,
{\displaystyle m'_{1}+m'_{2}=M',\,}
v
1
′
m
1
′
+
v
2
′
m
2
′
=
V
′
M
′
.
{\displaystyle v'_{1}m'_{1}+v'_{2}m'_{2}=V'M'.\,}
Dále doplníme vztahy pro sčítání rychlostí
v
1
′
=
v
1
−
ω
1
−
v
1
ω
c
2
,
{\displaystyle v'_{1}={\frac {v_{1}-\omega }{1-{\frac {v_{1}\omega }{c^{2}}}}},}
v
2
′
=
v
2
−
ω
1
−
v
2
ω
c
2
,
{\displaystyle v'_{2}={\frac {v_{2}-\omega }{1-{\frac {v_{2}\omega }{c^{2}}}}},}
V
′
=
V
−
ω
1
−
V
ω
c
2
.
{\displaystyle V'={\frac {V-\omega }{1-{\frac {V\omega }{c^{2}}}}}.}
Pro jednoduchost položíme
v
1
=
0
{\displaystyle v_{1}=0}
. Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah
(
m
1
m
2
′
−
m
1
′
m
2
+
m
2
m
1
′
v
2
ω
c
2
)
=
0.
{\displaystyle (m_{1}m'_{2}-m'_{1}m_{2}+m_{2}m'_{1}\,{\frac {v_{2}\omega }{c^{2}}})=0.\,}
Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát
m
1
=
0
m
1
f
(
0
)
,
{\displaystyle m_{1}={}^{0}m_{1}f(0),\,}
m
1
′
=
0
m
1
f
(
ω
)
,
{\displaystyle m'_{1}={}^{0}m_{1}f(\omega ),\,}
m
2
=
0
m
2
f
(
v
2
)
,
{\displaystyle m_{2}={}^{0}m_{2}f(v_{2}),\,}
m
2
′
=
0
m
2
f
(
v
2
−
ω
)
,
{\displaystyle m'_{2}={}^{0}m_{2}f(v_{2}-\omega ),\,}
předchozí rovnici tedy přepíšeme na
f
(
v
−
ω
)
f
(
ω
)
f
(
v
2
)
1
1
−
v
2
ω
c
2
=
1.
{\displaystyle {\frac {f(v-\omega )}{f(\omega )f(v_{2})}}{\frac {1}{1-{\frac {v_{2}\omega }{c^{2}}}}}=1.\,}
Pro
v
2
=
ω
{\displaystyle v_{2}=\omega }
tedy (za podmínky
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(0)=1}
) získáme
f
(
ω
)
=
1
1
−
ω
2
c
2
,
{\displaystyle f(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}}},}
což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.