Rapidita

Rapidita je bezrozměrná fyzikální veličina, která je mírou pohybu prostorem, podobně jako rychlost. Zatímco rychlost objektů je podle speciální teorie relativity shora omezena rychlostí světla ve vakuu $c$, rapidita může být libovolně velká. Pro objekty v klidu má hodnotu 0 a pro pomalé objekty je přímo úměrná rychlosti. Když se rychlost objektu přibližuje $c$, roste rapidita nade všechny meze.

Rapidita $r$ je definována vztahem

$\mathrm{tgh}\, r = \beta \,,$

kde $\beta = v/c$ je bezrozměrná rychlost a funkce $\mathrm{tgh}$ je hyperbolický tangens. Známe-li rychlost, můžeme rapiditu spočítat pomocí funkce hyperbolický arkus tangens, kterou lze vyjádřit přirozeným logaritmem

$r = \mathrm{arctgh}\, \beta = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \,.$

Příklady

Rozvojem do Taylorovy řady lze ukázat, že pro rychlosti mnohem menší než $c$ je $r$ velmi přesně rovno $\beta$. Například raketa pohybující se rychlostí 8 km/s má bezrozměrnou rychlost $\beta = 0{,}0000266851276159$ a rapiditu $r = 0{,}0000266851276222$, liší se až na deváté platné číslici. Rapidita tedy v běžných situacích představuje přímo rychlost v přirozených jednotkách.

Pro vysoké rychlosti je rapidita větší než $\beta$. Například při polovině rychlosti světla je $\beta = 0{,}5$, zatímco $r = 0{,}5493$. Rapidita $r = 1$ odpovídá rychlosti $\beta = 0{,}7616$. Protony v prstenci LHC urychlené na energii 3,5 TeV mají rychlost $\beta = 0{,}9999999282$ a rapiditu $r = 8{,}57$. Při dalším urychlení na 7 TeV se rychlost zvýší jen nepatrně, $\beta = 0{,}9999999820$, ale rapidita vzroste na $r = 9{,}26$.

Rychlost / km.s-1	Bezrozměrná rychlost	Rapidita	Lorentzův faktor	Poznámka
0	0	0	1	těleso v klidu
20	0,000066713	0,000066713	1,00000000223	obvyklá rychlost planetární sondy
29 979,246	0,1	0,100335	1,00504	relativistické jevy se začínají projevovat
123 932,393	0,413394	0,439698	1,0982	světlo v diamantu (n=2,419)
149 896,229	0,5	0,54931	1,155
224 844,344	0,75	0,97296	1,512
224 900	0,75019	0,97338	1,512	světlo ve vodě (n=1,3330)
228 320,184	0,76159	1	1,543
259 627,884	0,86603	1,3170	2	kinetická energie je rovna klidové
269 813,212	0,9	1,4722	2,2942
296 794,533	0,99	2,6467	7,0888
299 492,666	0,999	3,8002	22,366
299 762,479	0,9999	4,9517	70,712
299 789,460	0,99999	6,1030	223,6
299 792,453	0,999999982044	9,2642	7 463	7 TeV proton (LHC)
299 792,457 984	0,999999999948	12,184	97 847	50 GeV elektron (SLAC)
299 792,457 999 999 999 999 997	0,9999999999999999999999902	26,8	3,2×1011	vzácný 3×1020 eV proton kosmického záření
299 792,458	1	$\infty$	$\infty$	světlo ve vakuu

Skládání pohybů

V klasické fyzice se rychlosti skládají prostým sčítáním. Pohybují-li se dvě rakety po téže přímce rovnoměrně směrem od sebe rychlostmi $v_1$ a $v_2$, pak by cestovatel v jedné z nich měl podle klasické fyziky pozorovat, že druhá se od něj vzdaluje rychlostí $v_1+v_2$. Tento vztah ale v přírodě neplatí, je-li alespoň jedna z rychlostí velká, tedy řádově srovnatelná s $c$. Pro skládání rychlostí ve speciální teorii relativity platí vztah

$v_{12}=\frac{v_1+v_2}{1+v_1v_2/c^2} \,.$

Totéž lze vyjádřit pomocí bezrozměrných rychlostí

$\beta_{12}=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}.$

Lze ukázat, že

$\mathrm{arctgh}\, \beta_{12} = \mathrm{arctgh}\, \beta_1 + \mathrm{arctgh}\, \beta_2 \,,$

neboli

$r_{12} = r_1+r_2 \,.$

To znamená, že rapidity lze jednoduše sčítat jak v klasickém tak i relativistickém případě. Můžeme například urychlit jeden proton na 3,5 TeV, druhý na 7 TeV a poslat je proti sobě. V soustavě spjaté s jedním z nich se bude druhý přibližovat s rapiditou 8,57+9,26=17,83. Pokud se tělesa pohybují po téže přímce stejným směrem, pak se rapidity odečítají, tak jako klasické rychlosti. Když například proton o energii 7 TeV dohání druhý proton o energii 3,5 TeV, tak rapidita jejich vzájemného přibližování je 9,26-8,57=0,69.