Pythagorova věta o energii

Vztah si lze snadno zapamatovat jako Pythagorovu větu pro trojúhelník o stranách $E$,$E_0$ a $pc$.

Ve fyzice je Pythagorova věta o energii vztah mezi energií a hybností částice, který vyplývá ze speciální teorie relativity:

$E^2 = E_0^2 + \left(pc\right)^2\,.$

$E$ značí celkovou energii částice, $E_0$ je její klidová energie, $p$ je velikost hybnosti a $c$ je rychlost světla ve vakuu. Klidová energie je přímo úměrná hmotnosti částice $m$ podle vztahu $E_0=mc^2$.

Částice s nulovou hmotností

Foton a některé další částice mají nulovou klidovou hmotnost. Dosadíme-li $m=0$ do Pythagorovy věty o energii, vztah se výrazně zjednoduší:

$E = pc \,.$

Částice tedy nese hybnost, která je přímo úměrná její energii. Další významný důsledek lze nahlédnout, uvážíme-li relativistickou definici hybnosti:

$\mathbf{p} = {E\over c^2}\mathbf{v} \,,$

kde $\mathbf{p}$ a $\mathbf{v}$ jsou vektory hybnosti, resp. rychlosti částice. Dosadíme-li do této rovnice energii $E=pc$, zjistíme, že je splněna pouze tehdy, je-li velikost rychlosti rovna $c$. Jinými slovy částice s nulovou klidovou hmotností se musí vždy vůči libovolnému pozorovateli pohybovat rychlostí $c$.

Částice s nenulovou hmotností

Stejně jako v předchozí sekci dosadíme Pythagorovu větu o energii do vztahu pro velikost hybnosti:

$p = v {E\over c^2} = {v\over c^2}\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}\,.$

Je-li rychlost $v$ menší než $c$, můžeme z tohoto vztahu vyjádřit hybnost:

$p = \gamma mv\,,$

kde $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ je Lorentzův faktor. Hmotná částice se tedy bude pohybovat vždy rychlostí menší než $c$, i když jí dodáme libovolně velkou hybnost.

Na druhou stranu vezmeme-li definici hybnosti a dosadíme do Pythagorovy věty o energii:

$E^2 = m^2c^4 + \left(v{E\over c^2}\right)^2c^2 \,,$

můžeme z této rovnice vyjádřit celkovou energii částice:

$E = \gamma m c^2 \,.$

Opět je vidět, že částice s nenulovou hmotností se bude pohybovat vždy pomaleji než $c$, i když jí dodáme libovolnou energii.

Kinetická energie

Kinetická energie je rozdíl mezi energií částice v pohybu a v klidu:

$E_k = E - E_0 = \sqrt{E_0^2 + \left(pc\right)^2} - E_0 \,.$

Nemá-li částice klidovou hmotnost ($E_0=0$), je $E_k=E$. V tomto smyslu je energie částice s nulovou klidovou hmotností „čistě“ kinetická.

Pro částice s $E_0\not=0$ je kinetická energie v souladu s předchozími vztahy rovna:

$E_k = E - E_0 = \gamma m c^2 - mc^2 = mc^2 \left(\gamma - 1\right) \,.$

Taylorovým rozvojem tohoto výrazu lze ukázat, že při malých rychlostech dostatečně přesně platí vztah $E_k = {1\over2}mv^2$, což souhlasí s klasickou dynamikou popsanou Newtonovými zákony pohybu. Při velkých kinetických energiích se však rychlost pouze blíží $c$ a nikdy tuto hranici nepřekročí.

Čtyřhybnost

Všechny vztahy ve speciální teorii relativity lze přirozeně zapisovat pomocí čtyřvektorů. Jedním z nejdůležitějších je čtyřhybnost, která spojuje energii a hybnost částice. Vypočteme-li skalární součin tohoto 4-vektoru se sebou samým, obdržíme právě Pythagorovu větu o energii.

Odkazy

Související články

• Hybnost
• Čtyřhybnost
• Čtyřvektor
• Relativistická hmotnost

Externí odkazy

• Speciální teorie relativity - přehled základních vztahů na Aldebaran.cz