Prvočíselná věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Prvočíselná věta je důležitý poznatek z oboru teorie čísel, který hrubě popisuje rozmístění prvočísel mezi přirozenými čísly.

Zhruba se dá prvočíselná věta vyjádřit tak, že když vybereme náhodně číslo blízko nějakého velkého čísla N, pak pravděpodobnost, že naše číslo bude prvočíslem, je přibližně 1/ln(N), kde ln(N) značí přirozený logaritmus N. Např. kolem N = 10,000 je přibližně jedno z devíti čísel prvočíslem, zatímco poblíž např. N = 1,000,000,000 je pouze jedno z 21 čísel prvočíslem. Jinými slovy můžeme říct, že průměrná mezera mezi dvěma prvočísly blízko N je zhruba ln(N).

Vyjádření věty[editovat | editovat zdroj]

Nechť π(x) je prvočíselná funkce, která nám udává počet prvočísel menších nebo rovných x pro jakékoliv reálné x. Např. π(10) = 4 neboť existují právě čtyři prvočísla (2, 3, 5 a 7) menší nebo rovna 10. Prvočíselná věta poté říká, že limita podílu funkcí π(x) a x / ln(x), kde x jde k nekonečnu, je 1, což vyjadřujeme vzorcem

\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,

Pomocí asymptotické notace můžeme totéž vyjádřit také zápisem


\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.

Podstatné je, že vzorec neříká nic o rozdílu těchto dvou funkcí, když x jde k nekonečnu. Chování tohoto rozdílu je ve skutečnosti velmi komplikované a je spojeno s jedním z nejdůležitějších nevyřešených problému matematiky: Riemannovou domněnkou. Věta namísto toho vyjadřuje, že výraz x/ln(x) aproximuje π(x) v tom smyslu, že chyba aproximace se blíží k nule, když se x blíží k nekonečnu.

Ekvivalentním tvrzením je taktéž to, že n-té prvočíslo pn je přibližně rovno n ln(n); opět s chybou aproximace blížící se nule, když se n blíží nekonečnu.

Stručná historie[editovat | editovat zdroj]

Konkrétnější úvahy nad asymptotickým vyjádřením četnosti prvočísel se nacházejí již u Carla Friedricha Gausse na přelomu 18. a 19. století. Během 19. století se pokusili PČV dokázat P. L. Čebyšev a G. F. B. Riemann. Avšak první důkaz podali nezávisle na sobě francouzský matematik Jacques Hadamard [1] a belgický matematik Charles Jean de la Vallée-Poussin [2] v roce 1896 s použitím složitých metod komplexní analýzy. Důkazem prvočíselné věty se poté zabývali další matematici v průběhu 20. století, kteří našli několik dalších důkazů. O mnoho jednodušší důkaz [3] podal německý matematik Edmund Landau v roce 1909 a v roce 1949 objevil elementární důkaz[4] nejprve norský matematik Atle Selberg a poté Paul Erdös, který lehce upravil některé Selbergovy myšlenky ke konstrukci vlastního důkazu [1].

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prime number theorem na anglické Wikipedii.

  1. HADAMARD, J.. Sur la distribution des zéros de la fonction \zeta (s)� et ses conséquences arithmétiques. [s.l.] : Bulletin Société Mathématique de France, 1896.  
  2. DE LA VALLÉE-POUSSIN, Ch. J.. Recherches analytiques la théorie des nombres premiers. Brusel : Ann. Soc. scient., 1896.  
  3. LANDAU, E.. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. New York : Chelsea Publishing Company, 1974.  
  4. AUBERT, K. E.; BOMBIERI, E.; GOLDFELD, D.. Number Theory, Trace Formulas, and Discrete Groups. Boston : Academic Press, 1989.  

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]